Nouvelle inégo

salut à tout x,y,z >0
montrer que :
(créé par moi )
bon courage !!!

A=(x²+2)/(x+1)+(y²+2)/(y+1)+(z²+2)/(z+1)=sum(x²-1+3)/(x+1)=sum[(x²-1)/(x+1)+3/(x+1)=3/(x+1)+3/(y+1)+3/(z+1)+x+y+z-3

A.(x+y+z+3)=(x+y+z-3)(x+y+z+3)+3(x+1+y+1+z+1)(1/(x+1)+1/(y+1)+1/(z+1)]=(x+y+z)²-9+3(x+1+y+1+z+1)(1/(x+1)+1/(y+1)+1/(z+1)]
on sait que
(x+1+y+1+z+1)(1/(x+1)+1/(y+1)+1/(z+1)≥9
alors
A.(x+y+z+3)≥(x+y+z)²-9+27
A.(x+y+z+3)≥(x+y+z)²+18
par Am-mG on a :
x+y+z≥3.³√(xyz)
(x+y+z)²≥9.³√ (xyz)²
donc:
A.(x+y+z+3)≥9.³√ (xyz)²+18>6V2.la racine cubique (xyz)²+18
d'où:
A>[6√2³√ (xyz)²+18]/[x+y+z+3]

Bonjour,

D'une part, nous avons (x+y+z+3)[1/(x+1) + 1/(y+1) + 1/(z+1)] ≥ 9

==> 1/(x+1) + 1/(y+1) + 1/(z+1) ≥ 9/(x+y+z+3)

==> 2/(x+1) + 2/(y+1) + 2/(z+1) ≥ 18/(x+y+z+3)

D'autre part, nous avons x²/(x+1) + y²/(y+1) + z²/(z+1) ≥ 3.³√[(xyz)²/(x+1)(y+1)(z+1)]

D'où (x²+2)/(x+1) + (y²+2)/(y+1) + (z²+1)/(z+1) ≥ 3.³√[(xyz)²/(x+1)(y+1)(z+1)] + 18/(x+y+z+3)

Donc, pour arriver à l'inégalité voulue, il faut montrer que 1/³√[(x+1)(y+1)(z+1)] ≥ 2√2/(x+y+z+3)
C.à.d. (x+y+z+3)³ ≥ 8(x+1)(y+1)(z+1)

Or, nous savons que (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc.
Posons a = x+1, b = y+1 et c = z+1
Cette dernière inégalité devient (x+y+2)(y+z+2)(x+z+2) ≥ 8(x+1)(y+1)(z+1)
Et comme il est clair que (x+y+z+3)(x+y+z+3)(x+y+z+3) ≥ (x+y+2)(y+z+2)(x+z+2),
Alors (x+y+z+3)³ ≥ 8(x+1)(y+1)(z+1)
D'où l'inégalité voulue :

(x²+2)/(x+1) + (y²+2)/(y+1) + (z²+1)/(z+1) ≥ [6√2.³√(xyz)²+ 18]/(x+y+z+3)

Matherror a écrit:

Bonjour,

D'une part, nous avons (x+y+z+3)[1/(x+1) + 1/(y+1) + 1/(z+1)] ≥ 9

==> 1/(x+1) + 1/(y+1) + 1/(z+1) ≥ 9/(x+y+z+3)

==> 2/(x+1) + 2/(y+1) + 2/(z+1) ≥ 18/(x+y+z+3)

D'autre part, nous avons x²/(x+1) + y²/(y+1) + z²/(z+1) ≥ 3.³√[(xyz)²/(x+1)(y+1)(z+1)]

D'où (x²+2)/(x+1) + (y²+2)/(y+1) + (z²+1)/(z+1) ≥ 3.³√[(xyz)²/(x+1)(y+1)(z+1)] + 18/(x+y+z+3)

Donc, pour arriver à l'inégalité voulue, il faut montrer que 1/³√[(x+1)(y+1)(z+1)] ≥ 2√2/(x+y+z+3)
C.à.d. (x+y+z+3)³ ≥ 8(x+1)(y+1)(z+1)

Or, nous savons que (a+1)(b+1)(c+1) ≥ 8abc.
Posons a = x+1, b = y+1 et c = z+1
Cette dernière inégalité devient (x+2)(y+2)(z+2) ≥ 8(x+1)(y+1)(z+1)
Et comme il est clair que (x+y+z+3)(x+y+z+3)(x+y+z+3) ≥ (x+2)(y+2)(z+2),
Alors (x+y+z+3)³ ≥ 8(x+1)(y+1)(z+1)
D'où l'inégalité voulue :

(x²+2)/(x+1) + (y²+2)/(y+1) + (z²+1)/(z+1) ≥ [6√2.³√(xyz)²+ 18]/(x+y+z+3)

je croix que c'est plutôt (a+1)(b+1)(c+1)>=8sqrt(abc) , non pas (a+1)(b+1)(c+1) ≥ 8abc

Oui, désolé, faute d'inattention, voilà c'est réglé .

alors d'apres ma demontration et celle de matheror c strictement superieur >...j crois qu'il y a pas de cas d'égalités!!!!!!!!!!(sauf erreur)

oui t'as raison majdouline , mais si je t'ai dis

tu peux trouver les cas de l'égalité !!

en + j'ai dis de montrer l'égalité ou la supériorité , et tu as trouvé que c'est strictement superieur , ce qui est logiquement vrai
looool , c'est une exagération de ma part