nouvelle inégo !!!! (avec cos)

salut !!
x,y,z sont des angles d'un triangle quelque soit :
MQ: (ma création )
bon chance ^^

Dsl elle est fausse ,voilà ce qui est correct -----------
x,y,z sont des angles d'un triangle quelque soit :
MQ:

bJr
en voici une solution (sauf erreur)
on divise le tout par (1+cosX)(1+cosY)(1+cosZ)≠0
alors l’inegalité est equivalente à :
A=(1-cosZ)/(1+cosZ)+ (1-cosX)/(1+cosX)+ (1-cosY)/(1+cosY)≥1
par symétrie des rôles supposons que :
cosX≥cosY≥cosZ
<=>1-cosZ≥1-cosY≥1-cosX
et 1/(1+cosZ) ≥1/(1+cosY)≥ 1/(1+cosX)
par chebyshev on a :
3[(1-cosZ)/(1+cosZ)+ (1-cosX)/(1+cosX)+ (1-cosY)/(1+cosY)] ≥(1-cosZ+1-cosY+1-cosX)( 1/(1+cosZ)+1/(1+cosY)+ 1/(1+cosX))
<=>3A≥(3-( cosX+cosY+cosZ)/ (1+cosZ) +1/(1+cosY)+ 1/(1+cosX))
par les moyennes on a : 1/(1+cosZ)+1/(1+cosY)+ 1/(1+cosX)≥9/( cosX+cosY+cosZ+3)
alors
3A≥9(3-( cosX+cosY+cosZ))/ ( cosX+cosY+cosZ+3)
<=>A≥3(3-( cosX+cosY+cosZ))/ ( cosX+cosY+cosZ+3))
donc il suffit de demontrer que :
(3-( cosX+cosY+cosZ))/ ( cosX+cosY+cosZ+3))≥1/3
<=> 9-3(cosX+cosY+cosZ) ≥ cosX+cosY+cosZ+3
<=> 6≥4(cosX+cosY+cosZ)
<=> 3/2≥ cosX+cosY+cosZ
ce qui est vrai par l’inégalité de Jensen….en effet….
supposons que X≥Y≥Z
1)-si X≤Pi/2
cos est concave sur l’intervalle [0 ;pi/2] alors pas jensen on a :
1/3cosX+1/3cosY+1/3cosZ≤cos((X+Y+Z)/3)=cos(PI/3)=1/2
1/3(cosX+cosY+cosZ) ≤1/2
<=> cosX+cosY+cosZ≤3/2 (1)
2)-si X>1/2------->1/2>cosY ≥cosZ(puisque X+Y+Z=Pi)
puisque cos est concave sur l’intervalle [0 ;Pi/2]
1/2*cosY+1/2*cosZ≤cos((Y+Z)/2)=cos(Pi/2-X/2)=sin(X/2)
donc cosY+cosZ≤2sin(X/2)
cos X+cosY+cosZ≤cosX+2sin(X/2)=1-2sin²(X/2)+2sin(X/2)=3/2-2(sin(X/2)-1/2)²<3/2 (2)
de (1) et (2) on a: cosX+cosY+cosZ≤3/2
………
d’où le resultat voulu :
(1-cosZ)/(1+cosZ)+ (1-cosX)/(1+cosX)+ (1-cosY)/(1+cosY)≥1
<=> (1+cosX)(1+cosY)(1-cosZ)+ (1+cosY)(1+cosZ)(1-cosX)+ (1+cosZ)(1+cosX)(1-cosY)≥ (1+cosX)(1+cosY)(1+cosZ)

kogu a écrit:

Dsl elle est fausse ,voilà ce qui est correct -----------
x,y,z sont des angles d'un triangle quelque soit :
MQ:

Je pense pas que cette inégalité ne soit pas connue avant,...

Bon,c'est facile:

L'inégalité équivaut à \sum (1-cos(x))/(1+cos(x)) >= 1 <=> \sum 1/(1+cos(x)) >= 2;et par C.S on a LHS.(3+cos(x)+cos(y)+cos(z)) >= 9 et il est claire que cos(x)+cos(y)+cos(z) =< 3/2 (c'est équivalent à l'inégalité de Schur pour t=1) d'ou la conclusion.

j'ai aimé bien votre soluc ...(les deux)

Mais .....en bref , si en a itudié la convexité de f telle que ça sera plus facile :
donc , C finit !! ^^

kogu a écrit:

Mais .....en bref , si en a itudié la convexité de f telle que ça sera plus facile :
donc , C finit !! ^^

oui en effet !! ( =tan(x/2)^2)