Ens Ulm à faire

Soit G un groupe fini, et f un morphisme de G dans G.
Montrer que:
Ker f = Ker f^2<=> Im f= Im f^2

Have fun!

ça fait parti des anciens Exos ULM qui sont considéres aujourd'hui comme des classiques !

oui ,et c'est pas dure .

Citation :

oui ,et c'est pas dure

Je suis bien d'accord avec toi , mais on trouve aussi d'autres exercices d'ENS vraiment difficile au point de te hanter l'esprit pendant des jours ...

stifler a écrit:

Citation :

oui ,et c'est pas dure

Je suis bien d'accord avec toi , mais on trouve aussi d'autres exercices d'ENS vraiment difficile au point de te hanter l'esprit pendant des jours ...

Très exact.
Je peux en donner l'exemple.

y'en un exo célébre je sais pas si c'est convenable de le poster où mème le jury n'en savaient pas la réponse et ont passé avec le candidat tout une heure pour le résoudre vainement!

bn j pas dit que les exo d'ens sont faciles,au contraire!!
mais moi je parle de l'exo proposé par naoufal.
pour radouan j'aime bien voir cet exo la.
et je vous souhaite un bn ramadan.

kalm a écrit:

bn j pas dit que les exo d'ens sont faciles,au contraire!!
mais moi je parle de l'exo proposé par naoufal.
pour radouan j'aime bien voir cet exo la.
et je vous souhaite un bn ramadan.

Ok le voici.

soit A une matrice de M_n(C).
Prouver que det(AA*+I_n)>=0 avec A* est le conjugé de A.

n.naoufal a écrit:

Soit G un groupe fini, et f un morphisme de G dans G.
Montrer que:
Ker f = Ker f^2<=> Im f= Im f^2

Have fun!

je poste ma solution donc ou.....!on laisse comme ça:Un classique!

merci bcp mr radouan pour l'exo.

allah yawadi 3la rasse ou l3aynine.....En fait cet exo n'est pas si difficile mnt à le résoudre,mé à l'époque c'étais trés difficle vue que le programme des classes a bcp changé et bcp des trucs sont devenus mnt trés connus

la solution classique c'est de remarquer qu'on peut prouver que:
|G| = |Im f| x |ker f| et aussi |G| = |Im f^2| x |ker f^2|
l'équivalence en découle aisement!
on définit la relation R de f : f(x)=f(y) égalité des images comme relation par suite l'ensemble quotient (pas un groupe attention)
G/R = Im f (biensur équipotance)
f(x)=f(y) <=> f(x^-1).f(x)= 1= f(x^-1y) donc x^-1y £ ker f (la definition ) alors depuis une bijection triviale les classes de R ont tous le meme cardinal de Ker f (equipotants à lui)
par conséquence on ecrit directement :
|G|= |G\R| x |ker f| donc |G| = |Im f| x |ker f|
de meme en utilisant que si f est morphisme de G dans G alors f^2 est aussi morphisme de G en G on trouve que
|G| = |Im f^2| x |ker f^2| .
CQFD.
comme a dis radouane, c'est un exercice classique qui date d'une bonne durée et qui est posé dès qu'on termine les leçons sur les groupes (pas géneralement en sup) (th. lagrange/ ensemb et grtoupe quotient/ groupe symetrique S(n) , A(n)....)

Bon ftoooor!

http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f=3&t=21678