Exercice!!

Salut tout le monde! Bon voià j'ai besoin d'un petit coup de pouce mais pas la réponse complète^^!

Soit x et y 2 nombres réels et x+y=1 et n est un entier naturel.
Démontrer que (1+1/xn)+(1+1/yn)>= (1+2n)²
xn: x à la puissance n
yn: y à la puissance n
2n: 2 à la puissance n

Merci d'avance!

Salam...
je te propose d'utiliser le theoreme de cauchy schwarz et après la solution s'éclaircira plus incha'allah si je ne me trompe pas

C'est un théorème qu'on a pas encore fait! Donc je ne pense pas que ma réponse serait considérée comme correcte si je l'utilise!

En plus je ne vois pas la relation :s

oui t'as raison c' désolant mais c'est tellement facile avec, qu'on ne peut pas nous priver d'utiliser ces théoremes, mais si t'as vrm besoin de l'utiliser il ne te reste plus qu'a le prouver ....

OHHH que si il y'a une relation ,si tu veux je te donne la solution pour voir

Euh Ok!

D'après Caushy on a

(1+1/xn)(1+1/yn)>=(1+1/V(xy)n)²

On sait que

x+y>2Vxy
1>2Vxy
on met tout a la puissance n on obtient
1/2n>V(xy)n
2n<1/V(xy)n

...^^...

mnt tu peux facilement déduire que

(1+1/xn)(1+1/yn)>= (1+2n)²

j'ajoute tes données
tel que
xn: x à la puissance n
yn: y à la puissance n
2n: 2 à la puissance n

J'ai pas très bien compris cette méthode! Je vais laisser tomber Je cherche une autre ^^
Merci beaucoup Soukki

Y're welcome j'aurai bien aimé t'aider mais bon ...Je chercherai aussi une autre solution ..^^

Merci c'est très gentil de ta part

SaKuRa a écrit:

Salut tout le monde! Bon voià j'ai besoin d'un petit coup de pouce mais pas la réponse complète^^!

Soit x et y 2 nombres réels et x+y=1 et n est un entier naturel.
Démontrer que (1+1/xn)+(1+1/yn)>= (1+2n)²
xn: x à la puissance n
yn: y à la puissance n
2n: 2 à la puissance n

Merci d'avance!

t'as du faire une erreur...
l'inégalité est fausse...prend comme contre exemple x=y=1/2 et n=1
la vraie inégalité c'est :
(1+1/xⁿ)(1+1/yⁿ)≥(1+2ⁿ)²

oui t'as raison !

T'aurais pas une idée Majdouline?

donc j propose une solution...
x+y=1
(x+y)²=1
c facile de demontrer que (x+y)²≥4xy
alors 1≥4xy---->1/xy≥4
---->(1/xy)ⁿ≥4ⁿ (1)
--------------------------------------------------------
1/xⁿ+1/yⁿ=[(x+y)/x]ⁿ+[(x+y)/y]ⁿ≥2√[[(x+y)²/xy]ⁿ]
on a (x+y)²≥4xy alors (x+y)²/xy=4
---->[(x+y)²/xy]ⁿ≥4ⁿ
alors 1/xⁿ+1/yⁿ≥2√4ⁿ=2.2ⁿ (2)
----------------------------------------------------------------
en sommant (1) et (2) :
1/xⁿ+1/yⁿ+(1/xy)ⁿ≥4ⁿ+2.2ⁿ
<=>1/xⁿ+1/yⁿ+(1/xy)ⁿ+1≥4ⁿ+2.2ⁿ+1
<=>
(1+1/xⁿ)(1+1/yⁿ)≥(1+2ⁿ)²
P.S.tu dois indiquer dans ton annoncé qu'il s'agit de réels positifs.....

oui...DSL j'ai meme pas fait attention j'édite mon message précédent

Oui j'ai oublié de le faire^^
Merci pour tout

J'ai une autre question que j'ai oubliée de poster
x,y et z sont des nombres réels.
a=x+1/y ; b=y+1/z ; c=z+1/x
Supposons que x,y et z sont strictement positifs et que a>=b>=c.
1-Démontrer que a+b+c>=6 (J'ai répondu à cette question)
2-Démontrer que a>=2

Merci d'avance! (C'est un peu urgent :s)

a+b+c = x+1/x+y+1/y+z+1/z >= 2+2+2 = 6

( x+1/x) >= 2

pour le 2

on suppose que a=<2
on a a>b>c
alors

b=<2
c=<2
dons a+b+c=<6 (ce qui est faux )

donc a>=2

pour le deuxieme on a

a+b+c>=6
a>=b
a>=c
donc 2a>=b+c on a b+c>=6-a
2a>=6-a
3a>=6
a>=2
c'est simple si tu a d'autres exos poste les stp

Merci
Oui j'en ai d'autres!

Démontrez que n(n+1)(n+2) est un multiple de 6.
(n est un entier naturel)

Celui-là est très simple

chake entier peu etre ecrit sou forme de n=3k ,n=3k-1 n=3k-2
k de IN
si n=3k et on sait ke le produit de 2 entiers suivis sont multipe de 2
ona (n+1)(n+2)=2a a de IN
dnc n(n+1)(n+2)=3k*2a=6ak multipe de 6 (1)
si n=3k-1 alors n+1=3k==> n(n+1)(n+2)=3nk(n+2)=3n²k+6nk=6(nk+n²k/2)=3(9k+1-6k)+6nk=27k+3-18k+6nk=9k+3+6nk=6(nk+1/2+(3/2)k)=6(nk+2k) multipe de 6
si n=3k-2 alors n+2=3k
et ona n(n+1)=2a a de In
donc n(n+1)(n+2)=6ak multipe de 6

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