Exos Continuités Et Reciproques 1

EXO 1

f(x) = x[E(3x)-3E(x)]
=> Etudier La Continuité sur 0
=> Etudier La Continuité sur IR
EXO 2

Df =IR
F continue sur 0
V(x,y) E IR² : f(x+y) = f(x)*f(y)
1) Montrez que
V(x,y) E IR² : f(y) = f(y-x)*f(x)
2) Indiquez f(0) sachant que f(x)#0
3) Montrez que f est continue sur IR

Bonne chance tt le monde
(detaillez vos réponses)

HELP PLZ

Exo 1:
1)on considere un intervalle ]-1/3,1/3[ donc:
-1/3<x<1/3
=>-1<3x<1
=>-1<E(3x)<1
=>-1<E(3x)-3E(x)<4 car (-3<3E(x)<0)
=>-x<x(E(3x)-3E(x))<4x pour x-->0+ ou 4x<x(E(3x)-3E(x))<-x si x-->0-, dans les deux cas on a: lim(x->0)(x(E(3x)-3E(x)))=0=f(0) donc f continue en 0.
2)pour x£Z==>f(x)=0 ==> f est continue en Z car (3E(x)=E(3x)) pour tt x£Z).
pour x£IR-Z, par opérations tu trouve que f est continue car E(x) est continue en IR-Z.
Conclusion: f est continue en IR.
Exo 2:
1)remplacer y par y-x
2)pour x=0 et y=0 ==> f(0)²=f(0)+(f#0)=>f(0)=1.
3)on a f continue en 0 <==> lim(y->x)f(y-x)=1
et puisque lim(y->x)f(x)=f(x) et f#0 donc:
lim(y->x)(f(y)/f(x))=1 <==>lim(y->x)f(y)=lim(y->x)f(x)=f(x)
d'où f est continue en IR.

Merci Hamza