[EI] Proba. - Calcul du nombre de solutions d'une équation

affine a lcasawi, wa rak ghberti fmerra.Donnes de tes nouvelles ayimma facebook oulla msn.

Bonsoir :

Question importante !!!

si on peut determiner le nombre N_{n,k} des solutions de \sum_{i=1}^n x_i =k

on aura une formule interresante genre \sum_{i=0}^p N_{n,k} = M_{n,p} avec M_{n,p} le nombre demandé en haut

exodian95 a écrit:

joli enoncé :

on peut interpreter ce probleme combinatoirement :

on cherche tout d abord à resoudre l'equation sum(Xi)=p (i€[[1,n]])

si Vi€[[1,n]] Xi#0 on a biensur p>=n

donc il s'agit de placer n-1 signe (+) parmis ces blocs de 1 ;

1.1.1.1......1.1.1.1.1 il existe p nombre 1 dans cette ecriture

tel que un bloc {1.1.1..1} devien somme des 1 qui comporte une fois placé entre deux signes + ,(pour les blocs aux extremités ils deviennes somme des 1 une fois delimité par un +)

donc un simple calcul donne A_{p-1}^{n-1} possibilité de placer ces signes +.

si l un des Xi est nul

on aura n-2 signes plus à placer donc A_{p-1}^{n-2} solutions

et aisin de suite

on trouve le nombre total des solutions egal à :

sum_{k=1}^{n}A_{p-1}^{n-k}

aprés pour obtenir le nombre de solutions de l equation on somme de 0 à p

Mehdi !

Bonsoir

De jolies initiatives ^^ Je suis vraiment ravi de vos réponses.

Vos deux méthodes consistent à calculer le nombre de solutions pour \sum_{i=1}^n x_i =k puis de sommer sur tous les cas possibles.
L'inversion du processus est plus facile.

Solution:
(A): \sum_{i=1}^n x_i =<p
(B): \sum_{i=1}^n+1 x_i =p, avec x_n+1 entier naturel.
Montrer que le nombre de solutions de (A) et (B) sont égaux.
(En effet à travers x_n+1 on traite tous les cas que vous sommez à la fin)

Montrer que le nombre de solutions de (B) est une combinaison avec répétition de p éléments parmi n+1.
D'où le nombre de solutions est C(n+p,p).

Merci de votre participation ^^