oral ENS(paris)

trouver toutes les fonctions réelles f telles que f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=1 et pour x différent de 0,f(x)*f(1/x)=1.

salam khadija !

ce sujet est déja traité tu peux jeter un coûp d'oeil ici

https://mathsmaroc.jeun.fr/equations-fonctionnelles-f10/cousine-de-cauchy-t12553.htm

et merci
______________________
LAHOUCINE

ca m'etonne qu'un probleme d 'imo longlist sois un oral d'ens ??!

C'est classique .. on l'a même fait dans les td !

je présente une petite démonstration,et j'insiste sur le fait que c'est pas assez facile comme vous le dites!

on a f(r)=r pour tout r de Q.
et pour |x|<1/2,|f(x)|<2,ce qui montre que f est bornée au voisinage de 0,donc ça assure le passe de Q à IR,donc f(x)=x

c'est frequent de voir les exos de l'imo au oraux de l'ens.

n.naoufal a écrit:

c'est frequent de voir les exos de l'imo au oraux de l'ens.

parait qu té encore en vie a ssi naoufal , content d'apprendre cette nouvelle

BJR à Toutes et Tous !!

On en avait parlé il y a longtemps sur le FoFo du temps d'un certain Patrick ( pco ) que l'on ne voit plus ....... et je sais pourquoi ( la même chose risque de se produire pour Moi si certaines dérives continuent sur ce Forum !!! )

Oeil_de_Lynx a écrit:

pco a écrit:

......
L'astuce ici est certainement que la condition supplémentaire f(x)f(1/x)=1 doit permettre de réduire les solutions à f(x)=x, mais comment ?
Là est la question ........

BJR-BSR à Toutes et Tous !!
En effet pco , la seule solution c'est bien f=Id , on l'obtient en prouvant que f est positive sur IR+ , puis croissante sur IR on termine la démo en partant de f(r)=r si r est dans Q par des encadrements de x réel par deux suites monotones de Q convergentes vers x .....
Quant à l'astuce que tu évoques : elle est basée en substance sur les éléments suivants
si x est un réel différent de 0 et 1
f(1/{x.(1-x)})=f{(1/x)+(1/(1-x))}=f(1/x)+f(1/(1-x))
=1/f(x) + 1/{f(1)+f(-x)}=1/f(x) + 1/{1-f(x)}=1/{f(x).(1-f(x))}
Il en résultera alors : f{x(1-x)}=f(x).{1-f(x)}
On en déduira que f(x)-f(x^2)=f(x) - {f(x)}^2

d'ou f(x^2)={f(x)}^2
Cette égalité est encore VRAIE pour x=0 ou x=1

Celà garantit que f est POSITIVE sur IR+
Si z >0 écrire z={rac(z)}^2 puis f(z)={f(rac(z))}^2 .....
Enfin , vous obtiendrez aussi la CROISSANCE de f sur IR.

Cette astuce n'est pas de Moi , elle est d'Oumpapah que j'ai connu sur le Forum de Jean-Michel FERRARD .
Merci Beaucoup Oumpapah !!! Génial !!!

autre chemin
on a $ x^{2}=\frac {1}{[(1-x)^{-1}-x]^{-1}+[x^{-1}-(1-x)]^{-1}}+x-1 $ donc en entrant f des deux cotés on obtient $ f(x^2)={f(x)}^2 $.
maintenant
$ f^{2}(x)+2f(x)f(y)+f^{2}(y) =f(x^{2})+f(2xy)+f(y^{2})=f((x+y)^{2})=f^{2}(x+y)=(f(x)+f(y))^{2}=f^{2}(x)+2f(x)f(y)+f^{2}(y)$ donc $f(xy)=f(x)f(y)$ apres ça c'est facile.

autre chemin
on a $ x^{2}=\frac {1}{[(1-x)^{-1}-x]^{-1}+[x^{-1}-(1-x)]^{-1}}+x-1 $ donc en entrant f des deux cotés on obtient $ f(x^2)={f(x)}^2 $.
maintenant
$ f^{2}(x)+2f(x)f(y)+f^{2}(y) =f(x^{2})+f(2xy)+f(y^{2})=f((x+y)^{2})=f^{2}(x+y)=(f(x)+f(y))^{2}=f^{2}(x)+2f(x)f(y)+f^{2}(y)$ donc $f(xy)=f(x)f(y)$ apres ça c'est facile.[/code]