La dérivée d'ordre n de f(x)=exp(1/(1-x²)) possède 2n-1 racines réelles si n est impair, 2n-2 si n est pair.
Pour le démontrer on montre d'abord qu'elle peut s'écrire P_n(x)f(x)/(1-x²)^{2n} avec P_n polynôme vérifiant P_{n+1}(x)=(x²-1)²P'_n(x)+2x(2n+1-2nx²)P_n(x).
On en déduit que P_n est de degré 3n-2.
Ensuite on montre par récurrence que pour x>1, P_n possède au moins n-1 racines réelles (avec changement de signe) , séparées par les racines de P_{n-1}: il suffit de remarquer que si a est une racine de P_n alors P_{n+1}(a)=(a²-1)²P'_n(a) a le signe de P'_n(a) ; d'autre part, P_n(0)=2^n et la limite de P_n(x) en +oo a le signe de (-1)^{n-1}. Tout cela entraine que P_{n+1} a une racine de plus que P_n sur ]1,+oo[.
Par symétrie, P_n a au moins 2n-2 racines réelles de valeurs absolues supérieures à 1.
Puis on étudie la suite des polynômes réels Q_n(x)=P_n(ix)/i^n.:Q_n a au maximum (3n-2)-(2n-2)=n racines réelles. On montre par récurrence (comme pour P_n) qu'il en a au moins n, donc exactement n. De plus, 0 est racine de Q_n ssi n est impair. Les racines non nulles de Q_n donnent des racines non réelles de P_n.
Un autre exercice un peu plus simple: la dérivée n-ème de g(x)=exp(-1/x) possède n-1 racines réelles distinctes, toutes strictement positives.
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