oral

trouver toutes les f:R->R telles que :
f(x+y)<=f(x)+f(y) and lim(x-->)f(x)/x=1.

je vais essayer de montrer que seule la fonction f(x)=x est solution.mais j'ai supposé que f est positif,je sais pas comment on traite le cas où f est définie sur IR car il faudra surement ajouter autres conditions.
puisque f(x+y)=<f(x)+f(y) alors:
y=x/2 et x/2==> f(x)/2=<x/2 et par réccurence on montre f(x)=<n*f(x/n) ainsi f(x)=<x*f(x/n)/(x/n) en faisant n à l'infini on obtient f(x)=<x.
car lim(n-->infini)f(x/n)/(x/n)=1.
mnt on a 0=<f(0)=<f(x)+f(-x)=<x-x=0 d'où f(x)=-f(-x) or f(-x)=<-x ce qui donne f(x)=-f(-x)>=x.CQFD.

khadija-daria a écrit:

trouver toutes les f:R->R telles que :
f(x+y)<=f(x)+f(y) and lim(x-->?)f(x)/x=1.

Tout depend de ? j'ai travaillé avec +OO j'ai trouvé que f(x)>=x qq soit x de R ,mais aussi tt fct H tq h(x)/x soit decroissante ( ce qui peut etre le cas içi vue que lim f(x)/x -->1+) verifie l'enoncé , qui p etre necessite pls données ;

Moi j'ai travaillé avec 0.