Un Exo de Colle

soit f une fonction définit de R->R bornée et de classe C^(infini)

Montrer que pour tout k>=2 f^(k) admet au moins k-1 racines

avec f^(k) = k'ème dérivée de f

Tu es sur de ton énoncé? Moi j'ai un beau contre exemple : arctan(x)

A+

http://www.mathsup.ouvaton.org

math_sup_ambition a écrit:

Tu es sur de ton énoncé? Moi j'ai un beau contre exemple : arctan(x)

A+

http://www.mathsup.ouvaton.org

ce n'est pas un contre exemple

BSR Conan !!
Effectivement , ton énoncé me semble incorrect !!
D'après ce que je crois comprendre
<< f^(k) admet au moins k-1 racines >>
tu veux dire par là que f^(k) s'annulle au moins (k-1)-fois sur IR ?
Si c'est celà alors voici un CONTRE-EXEMPLE :
Tu pars de u(x)=x^2+x+1
et tu intègres deux fois pour obtenir f :
x-------> f(x)=(1/12).x^4 + (1/6).x^3+(1/2).x^2
Cette fonction est Cinfini sur IR et sa dérivée seconde ne s'annulle JAMAIS sur IR !!!!!

bs

mais il a dit bornée

je suis du côté de math-sup

f(x) = arctan(x) ,est bien de C(inf) sur IR, bornée entre -pi/2 et pi/2

f '(x) = 1/(1+x^2) qui n'a aucune racine

salut houssa !!!
salut math_sup_ambition !!!

oui c'est vraie que f(x)=arctan(x) --->f'(x) nadmet pas de recine mais n'oublie pas que Conan dit:

f^(k) (x) admet au moins k-1 racine avec k>=2

donc f(x)=arctan(x) n'est pas contre exemple:
en effet:

f"(x)= -2x/(1+x²)² admet 2-1=1 racine.
f"'(x) = 2(x²-1)/(x²+1)^3 admet 3-1=2 racines.
....
donc a vous de trouver un autre contre exemple
______________________________________________________
LaHoUcInE

houssa a écrit:

bs
mais il a dit bornée .....

OUI !!! Autant pour moi !
Je n'ai pas fait attention à cette contrainte , j'ai focalisé ailleurs !
Merci pour votre remarque !!
Les fonctions polynômiales sont donc bannies !!

Oeil_de_Lynx a écrit:

houssa a écrit:

bs
mais il a dit bornée .....

OUI !!! Autant pour moi !
Je n'ai pas fait attention à cette contrainte , j'ai focalisé ailleurs !
Merci pour votre remarque !!
Les fonctions polynômiales sont donc bannies !!

en effet l'exercise est correct

Oui tu as raison Conan... Ca m'apprendra à lire trop vite.

Bon en fait il faut appliquer le fait que si f est bornée soit f admet des points où f' s'annulle ou bien f' tend vers 0 sur un des deux infinis (pas trop dur à démontrer et à voir).

En fonction de chaquun des cas de figures que tu rencontres (il faut les passer en revue), tu vas arriver à montrer que soit il existe un point ou la dérivée s'annulle (par exmple si tu as un extremum pour f), soit que la dérivée f' admet deux points, disons a et b, tels que f'(a)=f'(b). Dans ce cas tu appliques Rolle pour montrer que entre a et b tu peux trouver c tel que f''(c)=0.

Après tu recommence le jeu avec f'', f''', etc en faisant une jolie récurrence.

C'est un peu long à taper en détail ici, mais je pense t'avoir donné tous les éléments!

Bon courage.

http://www.mathsup.ouvaton.org

math_sup_ambition a écrit:

Oui tu as raison Conan... Ca m'apprendra à lire trop vite.

Bon en fait il faut appliquer le fait que si f est bornée soit f admet des points où f' s'annulle ou bien f' tend vers 0 sur un des deux infinis (pas trop dur à démontrer et à voir).

En fonction de chaquun des cas de figures que tu rencontres (il faut les passer en revue), tu vas arriver à montrer que soit il existe un point ou la dérivée s'annulle (par exmple si tu as un extremum pour f), soit que la dérivée f' admet deux points, disons a et b, tels que f'(a)=f'(b). Dans ce cas tu appliques Rolle pour montrer que entre a et b tu peux trouver c tel que f''(c)=0.

Après tu recommence le jeu avec f'', f''', etc en faisant une jolie récurrence.

C'est un peu long à taper en détail ici, mais je pense t'avoir donné tous les éléments!

Bon courage.

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je crois vous comprendre , mais remarquez qu'on aura pas avec votre méthode une réccurence , vu qu'on a pas une hypotése qui dis que les autres dérivés sont bornées

aller ou est la rigueur !

Bonsoir
Utilise le developpement en serie entiére .

e a écrit:

Bonsoir
Utilise le developpement en serie entiére .

veut tu bien détaillez !?

Soit , pour k>=2 , A_k={x dans IR/ f^(k)(x)=0 }
Il s'agit de montrer que Card(A_k)>=k-1.

Remarquons que si A_2 est infini, alors d'aprés Rolle
tous les A_k(f) pour k>=2 le sont.
(un exemple de telle situation est fournit par la fonction cosinus)

Dans la suite on suppose que A_2 fini et on voudrait montrer qu'il n'est pas vide.
Sinon, la fonction f" garde un signe constant quitte à considérer -f on peut
supposer que f">0 sur IR. Alors f est strictement convexe.
En particuliers f est non constante. Il existe alors b>a tels que f(a)#f(b)

Si f(b)>f(a) , on a qqs x>b f(x)>= f(a)+(x-a) (f(b)-f(a))/(b-a)
==> f non majorée (tendre x ---> +00) absurde.
Si f(b)<f(a) , on a qqs x<a f(x)>= f(b)+(b-x) (f(a)-f(b))/(b-a)
==> f non majorée (tendre x ---> -00) absurde.
Donc, Card(A_2)>=1.
Soit c=sup A_2 alors f"(c)=0 et f">0 sur ]c,+00[.
==> f' stictement croissante sur ]c,+00[
==> lim(+00)f'(x)=l avec l fini ou +00
Si l=+00, soit a>c f'(a)>0, la convexité de f sur ]c,+00[ donne
qqs x>a f(x)>= f(a)+(x-a)f'(a) ==> f non majorée (tendre x ---> +00) absurde.
==> l<+00 ==> lim(+00)f(x)/x=l ==> l=0 car f est bornée
De même en considérant d=inf A_2 on montre que lim(-00)f'(x)=0.
et f"(d)=0 et ne s'annulant pas sur ]-00,d[ et f' strictement monotone sur ]-00,d[
==> f' est bornée sur IR et d<c sur ]d,c[ f' possède au moins un extrémum e.
==> f"(e)=f"(c)=f"(d)=0 ==> Rolle card(A_3)>=2

Ainsi de suite, on répéte la même démonstration