2ieme exo difficile en fonction et en suite pour les matheux

att j essaye

Bonjour, il est intéressant ton exo, merci .
Donc je commence :

1/ apres calcul des limtes, on trouve :
lim (f(x)-f(-2))/(x+2) = -oo
x->-2-
lim (f(x)-f(-2))/(x+2) = +oo
x->-2+
Donc f est non dérivable en -2 .

2/ La dérivé, C que du calcul ..

3/ On pose h(x)=Arctanx-x
h'(x)= -x²/(1+x²) =< 0
Donc h est décroissante en IR+
et on a h(0)=0 Donc h(x)=<0 pour tout x positif,
D'ou la question.

4/ Par simple récurrence:
On suppose que 0=< Un =<2
et on a V(x+2) >= 0
Donc 0=<Arctan V(x+2) =< V(x+2)
D'ou 0=<g(Un)=< V(Un+2) =<2
Donc 0=<U(n+1) =<2
....

5/ On peut facilement montrer que Un est décroissante, et on a Un>= 0 Donc Un est convergente.

6/ On pose A(x)= g(x)-x
La fonction A est continue sur [0,2]
et apres calcul de la dérivé, A est strictement décroissante, donc A est une bijection de [0,2] vers [Arctan2-2 , Arctan V2 ]
Et 0 £ [Arctan2-2 , Arctan V2 ]
Donc l'equation A(x) = 0 admet une seule solution 0<a<2
...

7/ g est dérivable, g'(x) = 1/(2V(x+2) (x+3))
On a 0=<x =<2
Donc g'(x) =< 1 /6V2

8/On a 0=< a =<2
Donc g'(a) =< 1 /6V2
Donc :
lim (g(x)-g(a) ) / (x-a) =< 1 /6V2
x->a

Si je peux juste enlever celle limite, et prouver que
(g(x)-g(a) ) / (x-a) =< 1 /6V2
La réponse sera facile : On remplace x par Un ( car 0=<Un =<2), et on a g(a) = a
Donc on trouve : (U(n+1) - a ) / (Un -a) =< 1 /6V2 ....

si quelqu'un a une idée, please post it !

Pour la limite, on prouve que
/Un-a/ =< (1/6V2) ^n /Uo -a/ (facile)
Et on déduie que lim Un= a

Voila, merci de m'aider a répondre a la question 8 !

slt
pour la question 8 il suffit d'utiliser la Théoreme des Accoissement Finis et ça va étre facile

Ah d'accord , on n'a pas encore fait ça =).
Merci