Joli exo Pour Vs

Bsr!!
Soit f:E---->F une application
montrer que
qq soit A et B C E ; f(A/B)=f(A)/f(B)<==> f est injectiive
PS: (/ = intersection (ta9ato3)
allé jvs laisse réfléchir bnne chance !!

Oui Houssam Joli exo

<== Supposons que f est injective
y £ f(A)Πf(B) <==> y£f(A) et y£f(B)
<==> ( y=f(a)/a£A) et (y=f(b)/b£B)
<==> y=f(a)=f(b) / a£A et b£B
<==> y=f(a)=f(b) et a=b £ AΠB !

==> Supposons que pour chaque A et B de P(E)
f(AΠB) = f(A) Π f(B)

soient a et b de E tel que a≠b
{a} Π {b} = Ø
f({a}Π f{b}) = f(Ø) = Ø

donc f({a}) Π f({b}) = Ø
{f(a)} Π {f(b)} = Ø
ce qui veut dire : f(a) ≠ f(b)
Donc f est injective

Alors qq soit A et B C E ; f(AΠB)=f(A)Πf(B)<==> f est injective

slt!! et dsl pour mon intervention!.

Luna'L a écrit:

Oui Houssam Joli exo

<== Supposons que f est injective
y £ f(A)Πf(B) <==> y£f(A) et y£f(B)
<==> ( y=f(a)/a£A) et (y=f(b)/b£B)
<==> y=f(a)=f(b) / a£A et b£B
<==> y=f(a)=f(b) et a=b £ AΠB !

==> Supposons que pour chaque A et B de P(E)
f(AΠB) = f(A) Π f(B)

soient a et b de E tel que a≠b
{a} Π {b} = Ø
f({a}Π f{b}) = f(Ø) = Ø

donc f({a}) Π f({b}) = Ø
{f(a)} Π {f(b)} = Ø
ce qui veut dire : f(a) ≠ f(b)
Donc f est injective

Alors qq soit A et B C E ; f(AΠB)=f(A)Πf(B)<==> f est injective

f doit etre surjective nn?

Je ne crois pas , je ne sais pas trop , pour que f soit surjective il faut que y £ F , or ici on a aucune information sur y , à part qu'il appartient à f(A)Πf(B) non à F !
Donc je pense que non . mais bien sur sauf erreur ^^

Bsr Luna
Bsr Perleman

POur Perelman : non f ne doit pa etre surjective! !! ( c une définition) et comme ns dit le prof chake jour " ata33riif laayona9ach^^"
Pour Luna ta réponse est correcte Bravo !!

Merci Houssam

j'éspère que vous me comprenez ^^
ce que je veux dire c qu'il faut que f soit surjective <==> y doit avoir un antécédant par f.
un contre exemple: pour f(x)=1/x c on prend y et on dit tt simplement y=f(a) ..... c juste??!
prenez 0 et vous verrez....

bonsoir
on sait que pr tt application de E vers F tel que A et B inclus E
on a : f( A n B) C f (A) n f(B )
( la demo est simple sinon revise le manuel)
il faut montrer tt simplement que f(A) n f(B) C f(AnB ) si est seulement f est injective
ce qui n'est pas difficile
a bientt

Bsr Perlemen!!
bah POur la solution ke Luna a posté c a 90 pour cent correcte il manke le signe de (youjado) pour cke ta mis en rouge
!!
Merci pour ton intervention !!

meryeem a écrit:

bonsoir
on sait que pr tt application de E vers F tel que A et B inclus E
on a : f( A n B) C f (A) n f(B )
( la demo est simple sinon revise le manuel)
il faut montrer tt simplement que f(A) n f(B) C f(AnB ) si est seulement f est injective
ce qui n'est pas difficile
a bientt

Bsr Meryem on sé ke cette partie né po difficile
mais la partie kyé jolie dans lexo c
f(A n B)=f(A) n f(B)==> f injective!!

houssam110 a écrit:

Bsr Perlemen!!
bah POur la solution ke Luna a posté c a 90 pour cent correcte il manke le signe de (youjado) pour cke ta mis en rouge
!!
Merci pour ton intervention !!

oui mais pour dik "youjado" il faut la montrer......

Amicalement.

Salut Perelman
abh il faut pas oublier que f est une application donc chake nombre de E a une image dans F
donc c obligatoir (youjado x dans E) tel que f(x) = y
merci tjr pour votre intervention!!

oui tt à fait d'accord mais c pas utile ici
un petit exemple tjr : f(x)=1/x tt les éléments de IR* ont des images dans IR mais 0 n'a pas d'antécédant

f:IR*----> IR
x |--->1/x
donc ya au moin un seul nombre de IR kya un antécédent tel ke IR* né po un ensemble viiide !!

oui mais dans l'éxo: montrer pour tt ........... ^^

Salut dabord jé edité mes 2 derniers messages
apres jvé bien expliké mnt !
on a dapres a définition:
y £ f(A) <==> (youjado x¨£ E)/y=f(x) (1)
je crois koné ts daccor sur cela

on a f(A n B) C f(A) n f(B) sinn c facile a demontrer
donc montrons que
f(A) n f(B) C f(A n B)
----------------------------------
on a :
y £ f(A) n f(B) ==> y £ f(A) et y £ f(B)
==> (youjado a £ A/f(a)=y) et youjado b £ B / f(b)=y ( dapres la défintionà
on sé ke f est injective !!
donc f(a)=f(b)==> a=b
donc a £ B
donc
y £ f(A) n f(B) ==> (youjado a £ A n B)/f(a)=y
==> y ¨£ f(A n B) dapres la définition aussi
donc f(A) n f(B) C f(A n B)
jesper ke c bon mnt

oui,il faut ajouter simplement au données de l'exo que f(E)=F

noon c totalement pas sa on a po utilisé la surjectivité !!
on A utiliser juste l'injectivité car on a montré la ke :
f injectif ==> f(A n B)=f(A) n f(B)
et POur lotre coté c le meme ka fé Luna c correct
jespere ke tu ma compris

si la méthode de Luna est correcte fo que f(E)=F au moins dans les données,pour pouvoir écrire y=f(a)..........
PS:j'ai pas lu tt la démo de Luna donc j'ai réctifié seulement pour le passage cité.. ^^

Salut!!
contre exemple!
soit f application tel ke
f: IN ---> IN
x |---> f(x)=x+1
on voit bien que f né po surjectif car 0 na po dantécédent
eske on peu po ecrire
youjado x de IN tel que f(x)=y (y de IN)
????????

oui c triviale mais l3akss nn^^

Bsr Perleman jsé po cke tu vx dire par "l3aks"
si f est une application de E vers F
on a y £ f(A) <==> youjado x de E / y=f(x)

f:E--->F <==> il existe un x tel que f(x)=y / x£E et y£F cela est juste.

f:E--->F <==> il existe un y tel que f(x)=y / x£ et y£F celui là est faux!!.

houssam110 a écrit:

Salut dabord jé edité mes 2 derniers messages
apres jvé bien expliké mnt !
on a dapres a définition:
y £ f(A) <==> (youjado x¨£ E)/y=f(x) (1)je crois koné ts daccor sur cela

on a f(A n B) C f(A) n f(B) sinn c facile a demontrer
donc montrons que
f(A) n f(B) C f(A n B)
----------------------------------
on a :
y £ f(A) n f(B) ==> y £ f(A) et y £ f(B)
==> (youjado a £ A/f(a)=y) et youjado b £ B / f(b)=y ( dapres la défintionà
on sé ke f est injective !!
donc f(a)=f(b)==> a=b
donc a £ B
donc
y £ f(A) n f(B) ==> (youjado a £ A n B)/f(a)=y
==> y ¨£ f(A n B) dapres la définition aussi
donc f(A) n f(B) C f(A n B)
jesper ke c bon mnt

c cke jé dit !!