Problème de novembre 2009

On suppose que la suite (a_n) vérifie les conditions

Établir la convergence de la suite et trouver sa limite.

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une proposition postée .

Bonjour
tout revient au fait que x->x(1-x) est bornée sur [0,1] et atteint ses bornes , surtout son max qui vaut 1/4 (en x=1/2)
les (an) son bien ds ]0,1] l'inegalité verifiée par les (an)
*=> [an:a(n+1)][a(n+1)(1-a(n+1))]>1/4
=> [an/a(n+1)].1/4>1/4 et dc (an) decroissante et puisqu'elle est minorée par zero en decoule (an) cv , soit l sa limite qui est dans [0,1] :
l verifie ( en passant aux limites ds l'inegalité) 1/4>=l(1-l)>=1/4
la seul valer possible de l est 1/2.
a+

solution postée

Par joystar1
ona pour tout n>=1 on a (1/4)*{1/[1-a_(n+1)]}<a_n<1-{1/[4a_(n-1)]} (*)
posons f(x)=(1/4)*{1/[1-x]} et g(x)=1-{1/[4x]}
(*) devient:
par récurrence simple selon m on mq
pour tout n naturel, pour tout m naturel on a : v_m<a_n<W_m
où v_m et w_m sont deux suite récurrentes associées à f et g respectivement initialisé à 0 et 1
f et g sont croissante et continue d'où v_m et w_m convergent vers les points fixes l=1/2
d'où a_n converge vers 1/2(théorème des gendarmes).

solution postée

Réponse de Mr Houssa


1) Monotonie :

0 < an < 1 et an(1 – an+1 ) > ¼  an+1 < 1 -

 an+1 - an < .
Donc la suite est décroissante , minorée par 0 : elle converge vers un réel L  [0 , 1].

2) Calcul de la limite :

an(1 – an+1 ) > ¼ ( passage à la limite) L(1 – L) > ¼  (2L – 1)²  0

Donc : 2L-1 = 0  L = ½.

solution faite!

Solution postée!

Puisque la suite (a_n) est bornée ; pour montrer sa convergence il suffit de determiner sa monotonie :
on a : a_n(1-a_(n+1))>1/4 equivaut à :
1-a_(n+1)>1/(4a_n) donc a_(n+1)<1-1/(4a_n)
alors : a_(n+1)-a_n<1-1/(4a_n)-a_n
cad : a_(n+1)-a_n<(4a_n-1-4(a_n)²)/(4a_n)
cad : a_(n+1)-a_n< -(2a_n-1)²/(4a_n)<0
donc (a_n) est decroissante et puisqu'elle est minorée par 0 alors elle est convergente
Notons : L=lim(a_n)
on a bien : 0=<L=<1 et L(1-L)>=1/4
L(1-L)>=1/4 equivaut à :4L(1-L)>=1
equivaut à : 4L-4L²-1>=0
equivaut à : -(2L-1)²>=0 ce qui implique : 2L-1=0
Ainsi : L=1/2
Par : lahcen BOUNADER

solution postee

on a pour tout n a_n(1-an)-1/4=-(an-1/2)²<=0

donc a_n(1-an)<=1/4<a_n(1-a_(n+1))==>a_n>a_n+1 donc la suite est decroisant et puisqil est borne donc convergent

soit l sa limite donc l-l²>=1/4 et on sait que l-l²<=1/4 donc l-l²=1/4

l=1/2