premier methode:
on considere pour k=0,1,...,n-1.f_k:[0,1]->C.
f_k=exp(2i(t+k)²pi/n) et f=f_0+...+f_(n-1).
on montre que la suite u_k=sum_{-k}^{k}int_{0}^{1}f(t)exp(-2i*mtpi)dt converge vers la somme cherché.
puis on montre que la somme cherché est [1+i^(-n)]sqrt(n)/1-i.
deuxieme methode:
on considere l'endomorphisme H(f):Z/nZ->C tel que
H(f)(x)=sum_{y£Z/nZ}f(y)w^(xy) avec w la racine n ieme de 1.et f un endomorphisme du Q-ev.
on montre que HoH(f)(x)=nf(-x) puis en diagonalise HoH .
donc en trouvra que trH est la somme cherché.
et en calcule le module que l'on trouve sqrt(n).
soient a,b,c et d les multiplicités des valeurs propres sqrt(n),-sqrt(n),isqrt(n),-isqrt(n) de H.
on a a+b=(n+1)/2 et c+d=(n-1)/2,(a-b)²+(c-d)²=1.
en calculant det(H) on trouve a,b,c et d.
puis en touve que la somme (tr(H))=sqrt(n) si n=1mod4 et isqrt(n) si n=3mod4. d'ou le resultat.
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