Somme complexe

Bonsoir,
Pouvez-vous m'aider sur cette question :

Tu poses Z=1+i
Ensuite , tu utilises ta p'tite tête et ces ingrédiens là :

1) Z=(rac(2)).exp(i.PI/4) .... PI=3,14..
2) Z^k=......... Formule de MOIVRE .....
3) 1+Z+Z^2+ ........ + Z^(n-1) = ......
Somme des (n) premiers termes d'une Progression Géométrique de 1er Terme 1 et de raison Z .....

et tu conclus ................

J'ai commencé ainsi :
S = (Z^n - 1) / (Z - 1) mais je n'ai pas pu faire l'expression exponentielle de S puisque Z^n et 1 n'ont pas le même module

G.Kaito a écrit:

J'ai commencé ainsi :
S = (Z^n - 1) / (Z - 1) mais je n'ai pas pu faire l'expression exponentielle de S
puisque Z^n et 1 n'ont pas le même module

Ya pas de pb !!
Si tu poses rac(2)=R et T=PI/4
alors Z^n=R^n.exp(inT)

Bon !!
1/(Z-1)=(1/i)=-i a pour MODULE 1
Donc le module de S c'est aussi le module de Z^n - 1
Or Z^n -1= {R^n.cos(n.T) -1}+i.R^n.sin(n.T)
Le carré du module de S vaut ...... (R^(2n)) + 1 - 2.R^n.cos(nT)
et donc tu conclus .....


PS: J'ai rectifié << Or Z^n -1= {R^n.cos(n.T) -1}+i.R^n.sin(n.T) >> au lieu de
<< Or Z^n -1= {R^n.cos(n.T) -1}+i.sin(n.T) >>
Aucune interférence avc le résultat final .....

C'est bon. Merci

J'ai rectifié kelkchoze .... ( une tite étourderie .... )
Tu devrais trouver donc :
Module de S={ (2^n)+1 - 2.(2^(n/2)).cos(n.PI/4))}^(1/2)

C'est bien ce que j'ai trouvé.

La dernière question dit : montrer que si n est un n est un multiple de 4 alors le module de S est un entier.
Je pense qu'on doit utiliser la récurrence, mais je bloque.

G.Kaito a écrit:

C'est bien ce que j'ai trouvé.

La dernière question dit : montrer que si n est un n est un multiple de 4 alors le module de S est un entier.
Je pense qu'on doit utiliser la récurrence, mais je bloque.

Si n=0 Modulo 4 alors n=4k avec k dans Z
De là cos(n.PI/4)=cos(k.PI) qui vaut (-1)^k ( facile à prouver .... )

Par conséquent :
Module de S = { (2^n)+1 - 2.(2^(n/2)).cos(n.PI/4))}^(1/2)
={ (2^(4.k))+1 - 2.(2^(2.k)).(-1)^k}^(1/2)
={ (2^(2.k))^2)+1 - 2.(2^(2.k)).(-1)^k}^(1/2)

Si k est PAIR alors (-1)^k=1 et |S|=|2^(2.k) -1|
Si k est IMPAIR alors (-1)^k=-1 et |S|=|2^(2.k) +1|

Merci infiniment =)

U R Welcome ......