complexe

f(z)= (z+1)/(iz²-1)
1) Df
2) determiner le module et largument de f(z)
sachant que z[1.téta] et téta appartient a ]3pi/4 , 5pi/4[
3) U={z E C/ |z|=1}
resoudre ds U lequation f(z)= z barre
jme bloque ds la simplification du dénominateur pr trouver la forme trigonometrique

BSR perly !!!
Je veux B1 savoir dans quelle question , tu as des difficultés ??

c la deuxieme kest

on z=expialfa
alors f(z)=e^(ialfa) +e^0/e^ipi/2*e^i2alfa-e^0
et utiliser les formule

abedeladime a écrit:

on z=expialfa
alors f(z)=e^(ialfa) +e^0/e^ipi/2*e^i2alfa-e^0
et utiliser les formule

DSL Mr mais c'est faux!!!!

car pr tt z£C\{e^i(-pi/4 + kpi) / k£Z}

donc z=re^ia (a= arg(z) r=|z|>0)

alors à vous de suivre j'aime bien poster a reponse mais je laisse les autres
OKOK
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com(plexe)

salam

clé : 1 + e^it = 2.cos(t/2).e^it/2

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tu ne vois pas que le module de z et 1

perly a écrit:

f(z)= (z+1)/(iz²-1)
......
......
3) U={z E C/ |z|=1}
resoudre ds U lequation f(z)= z barre
jme bloque ds la simplification du dénominateur pr trouver la forme trigonometrique

BJR perly !!
Pour cette dernière question , il est bon de savoir la chose suivante :
Si z est un nombre complexe tel que |z|=1 alors z(barre)=1/z
Parceque z.z(barre)=|z|^2=1
Il est alors plus facile de résoudre l'équation f(z)=z(barre) car elle équivaudrait à celle-ci :
z.f(z)=1 avec bien sûr |z|=1
Soit tous calculs faits (1-i).z² +z +1=0 celà ne te rappelle rien ???

perly a écrit:

f(z)= (z+1)/(iz²-1)
.....
2) determiner le module ....... de f(z)
sachant que z[1.téta] et téta appartient a ]3pi/4 , 5pi/4[ .....

BJR perly !!

Soit z un complexe de module R et d'argument T
On désignera par la suite a* le conjugué de tout complexe donné a .
et on rapelle que a.a*=|a|^2
On va chercher de manière générale |f(z)|.
A faire des calculs particuliers , autant les faire dans un cadre général !!!
On écrit d'abord f(z)= -i {z+1}/{z²+i}

donc |f(z)|=|z+1|/|z²+i|
|z+1|^2=(z+1).(z*+1)=|z-^2+1+z+z*=1+R^2+2.R.cos(T)
d'ou |z+1|={1+ R^2 +2.R.cos(T)}^(1/2)

On fait pareil pour |z²+i|
|z²+i|^2=(z²+i).((z*)²-i )=.....=1+ R^2 + 2.R^2.sin(2T)
d'ou |z²+i|={1+ R^2 + 2.R^2.sin(2T)}^(1/2)

Par suite :
|f(z)|={{1+R^2+2.R.cos(T)}/{1+ R^2 + 2.R^2.sin(2T)}}^(1/2)

Ton énoncé dit que R=1 , d'ou :
|f(z)|={{1+cos(T)}/{1+sin(2T)}}^(1/2)
et tu t'aperçois alors que lorsque T est dans ]3Pi/4 ; 5Pi/4[ alors
2.T est dans ]3Pi/2 ; 5Pi/2[ et donc -1<sin(2T)<1 ce qui garantit que
1+sin(2T) <> 0 et l'expression trouvée a un sens !!!

z=[1;T]

j'ai trouvé ceci :

/f(z)/= cos(T/2)/cos(2T+pi/2)

et

arg(f(z))= 3T/2

c trés difficile pour ecrire la méthode
verifier svp et dites si c'est correct ou pas . merci d'avance.

perly a écrit:

f(z)= (z+1)/(iz²-1)
.....
2) determiner ........ l'argument de f(z)
sachant que z[1.téta] et téta appartient a ]3pi/4 , 5pi/4[

BSR perly !!

Soit z un complexe de module 1 et d'argument T
On sait que f(z)={z+1}/{i.z²-1}
On obtient selon un résultat du Cours :
Arg{f(z)}=Arg{z+1} - Arg{i.z²-1} Modulo 2.Pi

On a z+1=exp(i.T) + 1=cos(T)+1 + i.sin(T)=2cos^2(T/2) + 2.i.sin(T/2).cos(T/2)
={2.cos(T/2)}.exp{i(T/2)}
d'ou Arg{z+1}=T/2 Modulo 2.Pi

On a i.z²-1=exp{i.2T+i.(Pi/2)} – 1
=exp(i.Pi).{exp{i.2T+i.(3.Pi/2)} + 1}
={2.cos(T+(3.Pi/4))}.exp{i.(T+(7.Pi/4))}
d’où Arg{i.z²-1}=T+(7.Pi/4)) Modulo 2.Pi
soit Arg{i.z²-1}=T - (Pi/4)) Modulo 2.Pi
En conclusion Arg{f(z)}=(Pi/4) – (T/2) Modulo 2.Pi

PS : Au passage , on retrouve une autre expression de |f(z)|
|f(z)|=|{cos(T/2)}/{cos(T+(3.Pi/4))}|