complexe

un autre exo
slt:
soit P(z)=1+z²+z^4 +....+z^2(n-1).
1- resoudre dans C l'équation : z^2n= 1.
2- en déduire les racines de P(z)=0.
3- montrez que : P(z)=prod( 1^n-1,(z² -2z cos(kpi/n) + 1)).
4- a) calculez P(i).
b) en deduire la valeur du produit : prod(1^ n-1, cos(kpi/n)).
5- a) calculez (1).
b) en deduire lque :
prod( 0^n-1, sin(kpi/2n)= rac(n)/2^(n-1) .
bon courage

salam
je suis pressé mais en tout cas je vais repondre a la premiere question :
les racines de l'equaton z^2n=1 sont z_k=ei(kpi/n)
tel que 0<k<2n-1
pour la 2eme z^2n-1/z²-1)=P(z) z²#1
alors les racines de P(z) sont les racines calculés dans la 1ere question.

salam oui mahdi
1-les solutions sont les z_k=e^(kpi/n) k élé de {0,1,...,2n-1} (les racines d'ordre 2n de l'unité)
P(z)=o <=> z^2n - 1=o et z dif de 1 et -1.
donc les solutions de P(z)=o sont les z_k ; k élé de {1,2,...,n-1} U{n+1,n+2,...,2n-1}.
3- remarquez que z_(2n-k)=conju(z_k) pour tout k élé de {1,2,...,n-1}
(z-e^ix)(z+e^-ix)= z²-2z cos(x)+1
et factorisez P(z)
bon courage

la 4eme a) p(i)=1+i²+i^4+....+i^(2n-1)=(1-(i²)^n)/(1-i²)=(1-(-1)^n)/2
et on a p(i)=prod( 1^n-1,(i² -2i cos(kpi/n) + 1))
=prod( 1^n-1,(-2i cos(kpi/n))
=(-2i)^(n-1) prod( 1^n-1,(cos(kpi/n))
donc prod(1^ n-1, cos(kpi/n))=(1-(-1)^n)/(2(-2i)^(n-1)
si n est paire prod(1^ n-1, cos(kpi/n))=0
si n est impaire prod(1^ n-1, cos(kpi/n))=1/(-2i)^(n-1)

5) p(1)=1+1+1+....+1=n
p(1)=prod( 1^n-1,(2 -2 cos(kpi/n)))
=prod( 1^n-1,(2(1 - cos(kpi/n)))
=prod( 1^n-1,(2² sin²(kpi/2n))) (1-cosx=2sin²(x/2) )
=2^(2n-2)prod( 1^n-1,(sin²(kpi/2n)))
=2^(2n-2)prod( 1^n-1,(sin(kpi/2n)))²
alors prod( 1^n-1,(sin(kpi/2n)))²=n/2^(2n-2)
I prod( 1^n-1,(sin(kpi/2n)))I=rac(n)/2^(n-1)
il ya valeur absolu