Nombre complexe (pleez aidez moi a resoudre cet exo )

Soient n ϵ N* Z1 , Z2 , …,Zn ϵ C* montrer que
|∑_1^n▒〖Z k〗|=∑_1^n▒|Zk| <-->Arg(Z1)=Arg(Z2)= …………….=Arg(Zn) [2π]

Par récurrence sur n. On note le conjugué de Z par Z*

Pour n=2,
|Z1+Z2|=|Z1|+|Z2|
==> |Z1+Z2|²=|Z1|²+|Z2|²+2|Z1.Z2|
Mais |Z1+Z2|²=(Z1+Z2)(Z1*+Z2*)=|Z1|²+|Z2|²+2Re(Z1.Z2*)
==> |Z1.Z2|=Re(Z1.Z2*)= |Z1.Z2*|
==> Z1.Z2* €R+
==> Z1/Z2 €R+
==> Arg(Z1)=Arg(Z2)

Remarque: On pourra aussi utiliser le cas d'égalité de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Supposons que c'est vrai pour n complexes. Soient Z1,...,Z(n+1) : Le module de la somme est égale à la somme des modules.

|Z1+...+Zn|+|Z(n+1)|>|Z1+...+Zn+Z(n+1)|=|Z1|+...+|Zn|+|Z(n+1)|>|Z1+...+Zn|+|Z(n+1)|

==> |Z1|+...+|Zn|=|Z1+...+Zn| et il existe a€R+, Z1+...+Zn=aZ(n+1)

D'où le résultat

merci