fonction qui preserve la somme des cubes

trouver tous les fonction de Z vers Z tels que
pour tout x , y et z de Z f lx^3+y^3+z^3l egale flxl^3+flyl^3+flzl^3

voici l'ennoncé bien ecrit
trouver tous les fonctions f: Z -> Z tels que

f(x^3 +y^3 + z^3) = (f(x))^3 + (f(y))^3 + (f(z))^3
pour tous x, y et z de Z

(l'ami qui me l'a passé m'a affirmé c'est un ancien orale de l'X 1994 )

à mon avis ce probleme est assez simple pour etre un oral de l'X.

soit P(x,y,z) l'assertion f(x^3+y^3+z^3)=f(x)^3+f(y)^3+f(z)^3

P(0,0,0) ==> f(0)=3f(0)^3 puisque f(0) € Z on a f(0)=0

P(x,0,0) ==> f(x^3)=f(x)^3

P(x,y,-y) ==> f(y^3)=-f(-y^3) <==> f(y)=-f(-y) donc f est impair

on a f(1)=f(1)^3 donc f(1)€{0,1}

si f(1)=0

alors P(x,1,0) ==> f(x^3+1)=f(x^3)

donc pr tt m de Z f(x^3+m)=f(x^3)

pour x=0 il viend f=0

si f(1)=1

on a f(nx^3)=nf(x^3) pr tt n de N , pour x=1 il vien f(n)=n

et par impairité f(n)=n pr tt n de z

c'est faux
deja on a f(1)=f(1)^3 donc f(1)€{0,1} est fausse car f(o) peut egale à -1 .
et alors P(x,1,0) ==> f(x^3+1)=f(x^3) est fausse car

P(x,1,0)==>f(x^3+1)=f(x)^3+f(1)

c'est faux
deja on a f(1)=f(1)^3 donc f(1)€{0,1} est fausse car f(1) peut egale à -1 .
et alors P(x,1,0) ==> f(x^3+1)=f(x^3) est fausse car

P(x,1,0)==>f(x^3+1)=f(x)^3+f(1)

c'est pas assez simple que tu le crois

en fait les fautes sont
f(1)€{0,1} car f(1) peut etre -1
donc pr tt m de Z f(x^3+m)=f(x^3) comment as tu passé de f(x^3+1)=f(x^3) à f(x^3+m)=f(x^3)

oui oui t'as parfaitement raison , j'ai pas etabli les formules de recurrences car il me paraissait trivials alors qu'elles sont fausses.
je tacherai de repondre entierement à ce probleme ce soir , et à lui demander des excuses pour ma sousestimation

c'est pas grave ...

slt!!
je propose ma solution :
on a comme énoncé: P(x,y,z):f(x^3+y^3+z^3)=f(x)^3+f(y)^3+f(z)^3 avec f:Z-->Z

P(0,0,0)==>f(0)=0.(f(0)£Z)
P(x,0,0)==>f(x^3)=(f(x))^3
donc P(x,y,0):f(x^3+y^3)=(f(x))^3+(f(y))^3=f(x^3)+f(y^3).
en considerant un ensemble A des cubes parfaits,donc on posont x^3=x1 et y^3=y1 alors l'e.f devient:
f(x1+y1)=f(x1)+f(y1).
on posont y1=1 (car 1£A) on a: f(x1+1)=f(x1)+a / a=f(1).

P(x,-x,z)==>f(z^3)=(f(z))^3+(f(x))^3+(f(-x))^3==>f est impaire,donc on limite l'étude de f sur Z+.

on a:f(x1+1)=f(x1)+a.
donc puisque on a x1£IN ,on fait appelle aux suites qui rend l'e.f en posons u_n=f(n) comme suit: u_(n+2)=u_(n+1)+a <==> u_(n+1)=a+u_n.
(u_n)_n est une suites arithmétique de raison a ce qui conduit à:

u_n=u_0+(n-0)a=a.n (car u_0=0).
<==> f(n)=n pour tt n£A.en remplacons dans l'e.f nous aurons a=1 ou a=0 donc si a=0 ===> f(n)=0 pour tt n£A et par conséquent pour tt n£IN.

si a=1:
f(n)=n pour tt n£A.
puisque on a pour tt x£IN f(x^3)=(f(x))^3 et puisque x^3£A alors:
f(x^3)=x^3 ==> x^3=(f(x))^3 ===>f(x)=x pour tt x£IN,et par imparité pour tt x£Z.


alors les finales solutions sont:

f(x)=x pour tt x£Z
f(x)=0 pour tt x£Z.

c'est faux

donc puisque on a x1£IN ,on fait appelle aux suites qui rend l'e.f en posons u_n=f(n) comme suit: u_(n+2)=u_(n+1)+a <==> u_(n+1)=a+u_n.

deja x1 n'appartient pas à N mais il faut le choisir de N
apres tu prends u_n =f(n) et tu affirme que u_(n+1)=a+u_n cad en terme de f c'est f(n+1) = f(n) +1 ce qui est juste que si n appartient à A mais par exemple f(n+2) = f(n+1)+1 est fausse car n+1 n'apparteint pas à A et donc tes relations de recurences sont fausses

x1£A je pense!!

prière de bien lire ma solution...

j'ai contenté sur Z+=IN donc puisque x1=x^3 ==> x1£A et puisque x£IN ==>x^3£IN==>x1£IN !!!

evidement

alors pourquoi ma solution est fausse?

écoute définie bien les termes de ta suite et tu vas voir l'erreur

pour les relations de réccurence je vois pas où est la faute!!
tt suites est définie de E inclu à IN-->IR pour la suite je l'ai prit pour A-->Z ! en savant que A est inclu dans IN....

mais pas tt A justes ses éléments positives

nn ecoute définies le terme 0 de ta suite puis ecris les deux premieres relations pour n=1.2.3 par exemple
car ta suite n'est pas bien définie

voilà la difinition de la suite:

u_(n+1)=u_n+a pour tt n£A_+ (les éléments positives de A)

donc les premiers termes seront: u(0),u(1),u( 8 ) ,u(27)......

j'éspère que c claire mtn.

donc 0.1.8.27...... n'est pas une progression arithmetique

hmmm oui je pense qu'il y a quelque chose qui cloche!! ,je renviendrai si je trouve qq chose :d

merci à toi!!

reslt!!

j'ai cherché longtemps afin de trouver une bonne méthode!(c pas la mienne) la solution est l'application de cette lemme:

Pour tt x>=4 , x^3 peut s'écrire comme somme de 5 cubes d'entiers x_i tel que |x_i|<x.