Un artiste contemporain désire matérialiser sa vision originale de l'infini par une oeuvre spatiale ( un premier carré mesure 1, le deuxième posé au dessus du premier fait 1/2, le troisième posé au dessus du second fait 1/3 etc...)
L'artsite dispose d'un volume total de 2m² de plastique ( déformable a volonté) et d'une quantité de laque permettant de peindre une suface de 12m². D'autre part, la salle de musée a une hauteur de plafond de 8m.
Il s'agit de déterminer si, avec ces contraintes, l'artiste pourra:
.mouler autant de cube qu'il veut?
.en empiler autant qu'il veut?
1) Conjecture
A l'aide de votre intuition et de la calculatrice, conjecturer les réponses aux trois problèmes posés
2)Formalisation du problème
On note Vn le volume (en m^3) des n premiers cubes construits (ceux d'arêtes 1,1/2,...,1/n), Sn la somme de leurs aires ( en m²)
et Hn la hauteur (en m) de leur empilement.
a) Exprimer Vn, Sn et Hn en fonction de n
b) Montrer que résoudre les trois problèmes se ramène à répondre aux trois questions:
A-t-on Vn<=2? Sn<=12? Hn<=8?
3)a)Montrer que pour tout entier k>=2:
1/k²<=1/k(k-1) et 1/k(k-1)=(1/k-1)-(1/k)
b) en déduire que 1/2²+1/3²+...+1/n²<=1-1/n<=1
Montrer que l'artiste pourra empiler autant de cubes qu'il le souhaitera...
BONNE CHANCE...
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