Une belle EF

Salam o alikom Aid moubarak said

Determiner les applications f de R+* dans R+* verifiant
l'equation fonctionnelle : pour tout (x;y) € (R+*)2 f (xf (y)) = yf(x) et
tendant vers 0 quand x tend vers plus l'infini.

Bonjour ;

Condition nécessaire :

L'ensemble Z des points fixes de f est un sous groupe de IR+*

en effet f est injective car si f(x)=f(y) alors f(f(x))=f(f(y))=xf(1)=yf(1) donc x=y
et comme f(xf(1))=f(x) on voit que f(1)=1 et 1£Z
si x,y£Z on a f(xy)=f(yf(x))=xf(y)=xy donc xy£Z
et si x£Z on a f(xf(1/x))= (1/x).f(x)=1=f(1) donc f(1/x)=1/x et (1/x)£Z



Z est majoré

car sinon il contiendrait une suite (xn) tendant vers +oo et on aurait f(xn)=xn ---> +oo ce qui est contraire à l'hypothèse

Et comme les sous groupes majorés de IR+* il n'y en a pas beaucoup ! Z={1}

Et comme pour tout x>0 on a xf(x)£Z on voit que f(x)=1/x pour tout x>0


La condition est largement suffisante sauf erreur bien entendu

Exacte Mr elhor rien a dire !

Merci pour l'exercice Mr spiderccam !

Cest un Problème de L'OIM 1983

effectivement EINSTEINIUM je viens de le voir en consultant google et j'aimerai bien voir la solution de l'auteur je cherche !

solution personnelle

P(x;y) : f (xf(y)) = yf(x)

P(1;x) : f(f(x)) = ax (f(1) = a >0)

donc f est injective d'une autre part P(1;x) : f(ax) = f(x) donc ax=x ==> a=1 alors f(1)=1

alors f(f(x)) = x

donc f(x) = x ou f(x) = 1/x et d'apres l'hypothèse et le fait que f(1)=1 on a limx->+00f(x) = 0 donc f(x)=1/x

à+

Citation :

f(f(x)) = x

donc f(x) = x ou f(x) = 1/x

je ne crois pas que cette implication soit vraie Mr wagshall !

un contre exemple : f(x)=1/V(x) si x£]0,1] , f(x)=1/x² si x>1 sauf erreur bien entendu