Exo très difficille en trigonométrie.

Montrez que :
cos(pi/5) * cos(3pi/5) = -1/4

Deduisez (istantij) que :
cos(pi/5) + cos(3pi/5) = 1/2

Deduisez cos(pi/5) et cos(3pi/5)

Svp une reponse !!!

Solution : ( Sauf erreur )

Posons cos (pi/5) = a et cos (3pi/5) = b
On a : a.b=-1/4 et a+b=1/2
Donc a et b sont les deux solutions de l'équation 4t²-2t-1=0
Delta = 20
Donc a = (2+V20)/8 = (1+V5)/4
et b = (2-V20)/8 = (1-V5)/4
D'où le résultat.

P.S : on a choisi a>b puisque cos (pi/5)>cos (3pi/5) {cos est une fonction décroissante sur [0;pi]}

Pour la Première question :

On a sin (3pi/5) cos (pi/5) cos (3pi/5)= 1/2 sin (6pi/5).cos (pi/5)
= 1/2 sin (pi+pi/5).cos (pi/5)
= -1/2 sin (pi/5).cos (pi/5)
= -1/4 sin (2pi/5)
= -1/4 sin (pi-3pi/5)
= -1/4 sin (3pi/5)
Donc : cos (pi/5) . cos (3pi/5) = -1/4. CQFD

Pour la Deuxième question :

On a sin (3pi/5) (cos (pi/5) + cos (3pi/5))=sin (3pi/5).cos (pi/5)+sin (3pi/5).cos (3pi/5)
=1/2(sin (4pi/5)-sin (-2pi/5))+1/2 sin (6pi/5)
= 1/2 (sin (4pi/5)-sin (-2pi/5)+sin (6pi/5))
= 1/2 (sin (pi/5)-sin (pi/5)+sin (pi-3pi/5))
= 1/2 sin (3pi/5)

Donc : cos (pi/5) + cos (3pi/5) = 1/2. CQFD

Oups j'ai pas fais attention....comme il faut déduire de la première question alors :

On a cos (pi/5) . cos (3pi/5) = 1/2 (cos (4pi/5) + cos (2pi/5))
<=>-1/4 = -1/2 (cos (pi/5)+cos (3pi/5))
Donc cos (pi/5) + cos (3pi/5) = 1/2. CQFD
Voilà

cmt t'es passé de (3pi/5) cos (pi/5) cos (3pi/5) à 1/2 sin (6pi/5).cos (pi/5)

mrmehdi a écrit:

cmt t'es passé de sin (3pi/5) cos (pi/5) cos (3pi/5) à 1/2 sin (6pi/5).cos (pi/5)

on a sin (a) cos (b) = 1/2 ( sin (a+b) + sin (a-b))
Donc sin (3pi/5) cos (3pi/5) = 1/2 (sin (6pi/5) + sin (0))= 1/2 sin (6pi/5)
Donc sin (3pi/5) cos (3pi/5) cos (pi/5) = 1/2 sin (6pi/5) cos (pi/5)