sujet d'étude page 207. SM

Voila ce que j'ai essayé : (utilisez la récurrence)
on considère une fonction f(x)=x^(n+1)
on a (n+1)a^n<(b^(n+1)-a^(n+1))/b-a<(n+1)b^n pour tous x dans (a,b) (théorème d'accroissement )
on donne a=1+1/(n+1) et b=1+1/n
on remplace dans l'encadrement et on obtient le résultat facilement (n'utilise que le coté droit de l'encadrement )
C'est simple comme question faut pas s'y faire !!
Voila se que tu obtiendra :
(1+1/n)^n+1 - (1+1/(n+1))^n+1 < 1/n(1+1/n)^n
- (1+1/(n+1))n+1 <(1+1/n)^n (1/n -1 -1/n)
(1+1/(n+1))^n+1 > (1+1/n)^n

bon ba voila pour l'encadrement:
nous considérons la fonction: g(x)=xln(1+1/x)-ln2
g'(x)=ln(1+1/x)-1/(x+1)
g"(x)=-x/(x+1)²<0
donc g' est décroissante tel que g'(1)>0 & lim g'(+oo)=0 --> g'(x)>0
donc g est croissante tel que g(1)=0 -->g(x)>0
ce qui implique que xln(1+1/x)>ln(2) avec un peu de changement on a (1+1/x)^x>2

en ce qui concerne 1+........+1/n<1+ln(n)
il suffit de remplacer dans l'inégalité précédante en commençant par 1/2
ce qui donne
1/2+...+1/n< -[ln(1)-ln(2)+ln(2)-ln(3)+....+ln(n-1)-ln(n)]
ce qui donne donc
1+....+1/n< 1+ln(n)

pour la limite il suffit de la remplacer avec son équivalente dans l'exo et je pense mettre +oo au lieu de -oo

konan1 a écrit:

qu'est ce que ca veut dire la recurrence en arabe?

tarajou3

hindou11 a écrit:

donc g' est décroissante tel que g'(1)>0 --> g'(x)>0

Rien de logique !!!

'ai réctifié j'avais oublié de citer que la limite en +oo est égale a 0

konan le lien que tu as mis ne marche pas .. j'y peux rien !