Problème de la semaine N°223 (08/02/2010-15/02/2010)

chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )

puis il poste le message suivant ici "solution postée".pour plus d'information voir les conditions de participation.

pour ceux qui veulent l'envoyer en mp,veuillez l'envoyer à ma boite!

Merci!

Solution postée par mp Problème de la semaine N°223 (08/02/2010-15/02/2010) Icon_smile

Solution posté via m-p . Problème de la semaine N°223 (08/02/2010-15/02/2010) Icon_biggrin

majdouline a écrit:: bonjour....
n⁴+4ⁿ=p
on sait que le seul nombre premier pair est 2...
or,il est simple de démontrer que :
(∀n∈IN)n⁴+4ⁿ≠2....ainsi supposons que p est impair.....cela équivaut à n⁴+4ⁿ impair =>n impair......
d'autre part on a :
$Problème de la semaine N°223 (08/02/2010-15/02/2010) Gif$
n est impair <=>n+1 est pair <=>2ⁿ⁺¹ est un carré parfait==>n².2ⁿ⁺¹ est un carré parfait alors ...
$Problème de la semaine N°223 (08/02/2010-15/02/2010) Gif$
donc de ** on a :
$Problème de la semaine N°223 (08/02/2010-15/02/2010) Gif$
et : $Problème de la semaine N°223 (08/02/2010-15/02/2010) Gif$
alors *** devient :
$Problème de la semaine N°223 (08/02/2010-15/02/2010) Gif$
supposons que n>1....il est simple de démontrer donc que n⁴+1>2n² et que 4ⁿ=2²ⁿ>2ⁿ⁺¹ (car 2n>n+1 (n>1))
alors on a :
$Problème de la semaine N°223 (08/02/2010-15/02/2010) Gif$
contradiction..alors n≤1<=>n=1 ou n=0....on vérifiant les deux cas....on trouve que se sont effectivement des solutions(n=1--->p=5 et n=0==>p=1)....
S={0,1}
sauf erreur....

Sylphaen a écrit:: Bonjour :
Voici ma solution :
On a :
$Problème de la semaine N°223 (08/02/2010-15/02/2010) Gif$
Remarquons que le cas n=0 n'est pas vérifié .
Ainsi :
4ⁿ est paire , ce qui implique que n soit impaire sinon leur somme serait paires ..
Donc :
$Problème de la semaine N°223 (08/02/2010-15/02/2010) Gif$
Notre équation devient :
$Problème de la semaine N°223 (08/02/2010-15/02/2010) Gif$
Or que :
$Problème de la semaine N°223 (08/02/2010-15/02/2010) Gif.latex?n%5E%7B4%7D+4%5E%7B2m+1%7D=%20n%5E%7B4%7D+4.4%5E%7B2m%7D=n%5E%7B2%5E%7B2%7D%7D+%282.4%5E%7Bm%7D%29%5E%7B2%7D+2n%5E%7B2%7D.2.4%5E%7Bm%7D-2n%5E%7B2%7D.2$
$Problème de la semaine N°223 (08/02/2010-15/02/2010) Gif.latex?n%5E%7B2%5E%7B2%7D%7D+%282.4%5E%7Bm%7D%29%5E%7B2%7D+2n%5E%7B2%7D.2.4%5E%7Bm%7D-2n%5E%7B2%7D.2.4%5E%7Bm%7D=%28n%5E%7B2%7D+2.4%5E%7Bm%7D%29%5E%7B2%7D-%282.n$
$Problème de la semaine N°223 (08/02/2010-15/02/2010) Gif.latex?%28n%5E%7B2%7D+2.4%5E%7Bm%7D%29%5E%7B2%7D-%282.n.2%5E%7Bm%7D%29%5E%7B2%7D=%28n%5E%7B2%7D+2.4%5E%7Bm%7D+2.n.2%5E%7Bm%7D%29.%28n%5E%7B2%7D+2.4%5E%7Bm%7D-2.n$ Par conséquent l'un des facteurs est égal à 1 , et puisque c'est le plus petit donc :
$Problème de la semaine N°223 (08/02/2010-15/02/2010) Gif.latex?%28n%5E%7B2%7D+2.4%5E%7Bm%7D-2.n$
Et puisque :
$Problème de la semaine N°223 (08/02/2010-15/02/2010) Gif$
On aura :
$Problème de la semaine N°223 (08/02/2010-15/02/2010) Gif$

Donc le seul entier qui vérifie la contrainte est 1 .
S={1}

[quote="Abdek_M"]Solution du problème 223 :

supposons que Problème de la semaine N°223 (08/02/2010-15/02/2010) 719262cd45830248133d8a9183d18f9b43c1a7cb

Problème de la semaine N°223 (08/02/2010-15/02/2010) 719262cd45830248133d8a9183d18f9b43c1a7cb

alors si

Problème de la semaine N°223 (08/02/2010-15/02/2010) D1854cae891ec7b29161ccaf79a24b00c274bdaa

est pair alors il est facile de voir que le nombre Problème de la semaine N°223 (08/02/2010-15/02/2010) A6ef20c54b95051b3b948d77867aa71418061e50

est pair et srictement supérieur à 2 est donc n'est pas premier si Problème de la semaine N°223 (08/02/2010-15/02/2010) D1854cae891ec7b29161ccaf79a24b00c274bdaa

ets impair alors posons Problème de la semaine N°223 (08/02/2010-15/02/2010) 3ddb1e8ded6c909a73cd00da68fb4e9e5cf8e3ef

on a donc

Problème de la semaine N°223 (08/02/2010-15/02/2010) 943b77573dda4c35a120df4554a5baad53b9cb4c

est ce nombre est premier si et seulment si Problème de la semaine N°223 (08/02/2010-15/02/2010) 01ea4b6bd17ee603696dd6e63b08b3ba75b78dce

Finalement Problème de la semaine N°223 (08/02/2010-15/02/2010) 01ea4b6bd17ee603696dd6e63b08b3ba75b78dce

est la seule solution

Sujet: Re: Problème de la semaine N°223 (08/02/2010-15/02/2010)

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