je bloque sur une partie de l'exercice de mon dm
voila les données et les resultats des autres parties de l'ex
soit P=(X-1)²(X-3)
on note P1=(X-1)² et P2=(X-3) appartenant à IR[X]²
(il existe (U1,U2) appartenant à IR[X]² / U1P1+U2P2=1)
(g démontrer que U1=1/4 et U2=-(X+1)/4
E étant un IR-e.v et f appartient à L(E) f^(0)=idE , f^(i+1)=f°f^(i)
pour tout A appartenant à IR[X] on a A=somme(ai *X^(i) ) (i allant de 0 à p )
A(f)=somme (ai * f^(i))
on a aussi que f et A(f) commutent pour tout polynome A
on suppose que
(f-idE )²°(f-3idE)= P(f)=0
1) montrer que E est la somme directe de ker((f-IdE)) et Ker(f-IdE)
2)on note g1= (U1P1)(f) et g2= (U1P2)(f)
a) montrer que g1 et g2 sont des projecteurs de E
b)montrer que Ker (P2(f)) est inclus dans Im(g1)
c)en deduire que Ker(g1)=Ker(P1(f)) et que Im(g1)=ker(P2(f))
d) quels sont les noyau et image de g2 ? (justifier)
3) on pose d=3*g1+g2 et n=f-d
a)montrer que g1+g2=IdE et g1°g2=g2°g1=0
b)En déduire que n est nilpotent
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