Olympiade de Kénitra (1er tour)

Dijkschneier a écrit:

Citation :

Bah non, puisque x²>x et non x²>=x. =]
Au plaisir !

Posant , l'inégalité de départ équivaut à :
L'inégalité demeure donc juste.

Je parlais de l'équivalence, pas de l'inégalité. Enfin, bref. Malentendu.

Pour le qutrième:
On a Vx+1+Vx-1>=mVx.
Le domaine de définnition:
L'inégalité est défini si x-1>=0 et x+1>=0 et x>=0.
Donc x>=1.
Donc D=[1;+l'infini[.
On résoud l'inégalité dans son domaine de définition:
Le premier cas: m est négatif:
Si m est négatif.
Donc mVx est négatif, car Vx est positif.
Et on sait que V(x+1)+V(x-1) est positif.
Or, tout nombre positif est supérieur à un nombre négatif.
D'ou la solution est le domaine de définition.
Le deuxième cas: m=0:
L'inégalité équivaut V(x+1)+V(x-1)>0.
D'ou la solution est le domaine de définition aussi.
Le troisième cas: m est positif:
On a V(x+1)+V(x-1)>mVx.
Donc en élevant au carré, car tout est positif, on obtient V(x+1)^2+2V(x+1)V(x-1)+V(x-1)^2>m^2*x.
Donc x+1+x-1+2V(x^2-1)>x*m^2.
Donc 2x+2V(x^2-1)>x*m^2.
Donc 2V(x^2-1)>x*m^2-2x.
Donc 2V(x^2-1)>x(m^2-2).
Premier sous-cas: 0=<m=<V2:
On a 0=<m^2=<2.
Donc m^2-2 est négatif.
Et on sait que 2V(x^2-1) est positif.
Or, tout nombre positif est supérieur à un nombre négatif.
D'ou la solution est le domaine de définition.
Deuxième sous-cas: V2=<m:
On a 2=<m^2.
Donc m^2-2 est positif.
D'autre part, on a 2V(x^2-1)>x(m^2-2).
Donc en élevant au carré, car tout est positif, on obtient [2V(x^2-1)]^2>[x(m^2-2)]^2.
Donc 4(x^2-1)>x^2*(m^4-2m^2+4).
Donc 4x^2-4>x^2*m^4-4m^2*x^2+4x^2.
Donc 0>x^2*m^4-4m^2*x^2+4.
On considère le trinôme x^2*m^4-4m^2*x^2+4.
On calcule son discriminent qui vaut 0.
Donc ce trinôme est postif pour tout m et x.
D'ou la solution est l'ensemble vide.
Sauf faute de calcul.

Dijkschneier a écrit:

nmo a écrit:

Dijkschneier a écrit:

, plutôt.

Donc k=1 dans notre cas.

Basiquement, , dans notre cas.

nmo a écrit:

Je cherche encore pour le quatrième, et je sais la solution du dernier, mais avant de la poster, dessine la figure car je ne sais pas comment faire.

Le dernier exercice a été proposé tel quel, c-à-d, non accompagné par une figure. Le candidat devait se démerder.

Oui tu as raison, mais pour le deuxième ce que je veux dire est que je ne sais pas comment héberger l'image, sinon comment j'ai trouvé la réponse?

Pour le dernier:
Soit K et H les projetés successifs des points M et P sur (NP').
Soit O le point d'intersection des deux droites (NP') et (MP).
On a (MN) est parallèle à (PP').
Donc, en utilisant le théorème de halès, on trouve que OM/OP=ON/OP'=MN/PP'.==>(1)
D'autre part, on a (MK) est perpendiculaire à (NP') et même chose pour la droite (PH).
Donc (HP) est parallèle à (MK)
Et on a aussi O est le point d'intersection des deux droites (HK) et (MP).
Donc suite à l'utilisation du théorème de thalès, on a OM/OP=OK/OH=MK/PH.==>(2)
Et de 1 et 2, on trouve que ON/OP'=MK/PH.
Donc ON*PH=MK*OP'.
Donc (1/2)ON*PH=(1/2)MK*OP'.
On a S(MOP')=(1/2)MK*OP' et S(OPN)=(1/2)HP*ON.
Ce qui veut clairement dire S(MOP')=S(OPN).
Et on sait que, d'après la figure: S(MNP)=S(MNO)+S(OPN) et S(MNP')=S(MNO)+S(OP'M).
Donc les deux triangles MNP et MNP' ont la même surface.
CQFD.

nmo a écrit:

Pour le qutrième:
On a Vx+1+Vx-1>=mVx.
Le domaine de définnition:
L'inégalité est défini si x-1>=0 et x+1>=0 et x>=0.
Donc x>=1.
Donc D=[1;+l'infini[.
On résoud l'inégalité dans son domaine de définition:
Le premier cas: m est négatif:
Si m est négatif.
Donc mVx est négatif, car Vx est positif.
Et on sait que V(x+1)+V(x-1) est positif.
Or, tout nombre positif est supérieur à un nombre négatif.
D'ou la solution est le domaine de définition.
Le deuxième cas: m=0:
L'inégalité équivaut V(x+1)+V(x-1)>0.
D'ou la solution est le domaine de définition aussi.
Le troisième cas: m est positif:
On a V(x+1)+V(x-1)>mVx.
Donc en élevant au carré, car tout est positif, on obtient V(x+1)^2+2V(x+1)V(x-1)+V(x-1)^2>m^2*x.
Donc x+1+x-1+2V(x^2-1)>x*m^2.
Donc 2x+2V(x^2-1)>x*m^2.
Donc 2V(x^2-1)>x*m^2-2x.
Donc 2V(x^2-1)>x(m^2-2).
Premier sous-cas: 0=<m=<V2:
On a 0=<m^2=<2.
Donc m^2-2 est négatif.
Et on sait que 2V(x^2-1) est positif.
Or, tout nombre positif est supérieur à un nombre négatif.
D'ou la solution est le domaine de définition.

Jusque là, c'est correct.

Citation :

Deuxième sous-cas: V2=<m:
On a 2=<m^2.
Donc m^2-2 est positif.
D'autre part, on a 2V(x^2-1)>x(m^2-2).
Donc en élevant au carré, car tout est positif, on obtient [2V(x^2-1)]^2>[x(m^2-2)]^2.
Donc 4(x^2-1)>x^2*(m^4-2m^2+4).
Donc 4x^2-4>x^2*m^4-4m^2*x^2+4x^2.
Donc 0>x^2*m^4-4m^2*x^2+4.
On considère le trinôme x^2*m^4-4m^2*x^2+4.
On calcule son discriminent qui vaut 0.
Donc ce trinôme est postif pour tout m et x.
D'ou la solution est l'ensemble vide.
Sauf faute de calcul.

En élevant au carré, et en simplifiant, on tombe sur le binôme suivant :

Je te laisse donc reprendre tes calculs.

Il serait élégant, par ailleurs, de réduire et de simplifier à la fin la multitude de sous cas étudiés.

C'est faux Dijkschneier, en fait, on trouve P(x)=(x-2/m^2)^2
Donc P(x)=x^2-4/m^2+4/m^4.
Donc m^4*P(x)=x^2*m^4-4m^2*x^2+4.
Ce qui approuve que ma solution est juste.

BSr les jeunes ;

J'ai trouvé que : quand x=1

(1/y²)+2y>=4

la premiére énigalité demeure fause.

posons y=1 alors : (1/y²)+2y=1+2=3<4

Donc Il faut dire que x>1

Dijkschneier a écrit:

Citation :

Deuxième sous-cas: V2=<m:
On a 2=<m^2.
Donc m^2-2 est positif.
D'autre part, on a 2V(x^2-1)>x(m^2-2).
Donc en élevant au carré, car tout est positif, on obtient [2V(x^2-1)]^2>[x(m^2-2)]^2.
Donc 4(x^2-1)>x^2*(m^4-2m^2+4).
Donc 4x^2-4>x^2*m^4-4m^2*x^2+4x^2.
Donc 0>x^2*m^4-4m^2*x^2+4.
On considère le trinôme x^2*m^4-4m^2*x^2+4.
On calcule son discriminent qui vaut 0.
Donc ce trinôme est postif pour tout m et x.
D'ou la solution est l'ensemble vide.
Sauf faute de calcul.

En élevant au carré, et en simplifiant, on tombe sur le binôme suivant :

Je te laisse donc reprendre tes calculs.
Il serait élégant, par ailleurs, de réduire et de simplifier à la fin la multitude de sous cas étudiés.

Ce qui est en rouge est faux.
Je vais le rectifier dans mon prochain message.

Je termine ma démonstration:
On a 0>x^2*m^4-4m^2*x^2+4.
Donc -4>x^2*m^4-4m^2*x^2.
Donc -4>x^2*m^2(m^2-4).
Donc -4>-x^2*m^2(4-m^2).
Donc 4<x^2m^2(4-m^2).
On a aussi deux cas:
4-m^2 est positif ou négatif.
Le premier cas: m>2.
On a m>2.
Donc m^2>4.
Donc 0>4-m^2.
Donc 0>x^2m^2(4-m^2).
Et ne peut pas être supérieur à 4.
Ce qui veut dire que la solution est l'ensemble vide.
Le deuxième cas: 2>m.
On a 2>m.
Donc 4>m^2.
Donc 4-m^2>0. Et on peut diviser avec lui sans changer le sens de l'inéquation.
On a 4<x^2m^2(4-m^2).
Donc 4/m^2(4-m^2)<x^2.
Donc 2/mV(4-m^2)<x.
L'ensemble de solution est ainsi ] 2/mV(4-m^2);plus l'infini[.
J'espère que ce soit juste.

M.Marjani a écrit:

BSr les jeunes ;

J'ai trouvé que : quand x=1

(1/y²)+2y>=4

la premiére énigalité demeure fause.

posons y=1 alors : (1/y²)+2y=1+2=3<4

Donc Il faut dire que x>1

Dijkschneier a écrit:

Citation :

Bah non, puisque x²>x et non x²>=x. =]
Au plaisir !

Posant , l'inégalité de départ équivaut à :
L'inégalité demeure donc juste.

nmo a écrit:

Je termine ma démonstration:
On a 0>x^2*m^4-4m^2*x^2+4.
Donc -4>x^2*m^4-4m^2*x^2.
Donc -4>x^2*m^2(m^2-4).
Donc -4>-x^2*m^2(4-m^2).
Donc 4<x^2m^2(4-m^2).
On a aussi deux cas:
4-m^2 est positif ou négatif.
Le premier cas: m>2.
On a m>2.
Donc m^2>4.
Donc 0>4-m^2.
Donc 0>x^2m^2(4-m^2).
Et ne peut pas être supérieur à 4.
Ce qui veut dire que la solution est l'ensemble vide.
Le deuxième cas: 2>m.
On a 2>m.
Donc 4>m^2.
Donc 4-m^2>0. Et on peut diviser avec lui sans changer le sens de l'inéquation.
On a 4<x^2m^2(4-m^2).
Donc 4/m^2(4-m^2)<x^2.
Donc 2/mV(4-m^2)<x.
L'ensemble de solution est ainsi ] 2/mV(4-m^2);plus l'infini[.
J'espère que ce soit juste.

Merci de latéxifier tout cela. Il est très fatiguant de lire sans.

Up.