Own And Easy .

Soit a,b,c>0 avec a+b+c=1
Montrer que :

Et :

Sylphaen a écrit:

Soit a,b,c>0 avec a+b+c=1
Montrer que :

Et :

Bonsoir Sylphaen! malgré la facilté des tes deux inégalités, ils restent a mon avis de Très Belles Inégalités , surtout qu'ils sont du même niveau des inégalités proposés dans les olympiades marocains, voici mes solutions.
Solution pour la première inégalité:
lemme: pour tous réel positifs x et y, on 4/(x+y) =<1/x + 1/y
Preuve: l'inégalité équivaut à 4xy=<(x+y)² ou encore (x-y)²>=0 ce qui est vrai.

En applicant cette lemme, on trouve que:
\sum 4/(a+1) = \sum 4/[(a+b)+(a+c)] =< \sum 1/(a+b) + 1/(a+c) =< \sum 1/4(2/a + 1/b + 1/c) = 1/a + 1/b + 1/c C.Q.F.D
Egalité si et seulement si a=b=c=1/3
Solution pour la deuxième inégalité:
En applicant la même lemme, et le resultat de la première inégalité, on trouve que:
\sum 8/(3-a) = \sum 8/[(1+a)+(1+b)] =< \sum 4/(1+a) =< 1/a + 1/b + 1/c. C.Q.F.D.
Egalité si et seulement si a=b=c=1/3.

P.S: Bonne Chance dans ton chemin d'innovations des inégalités.

Pour la deuxième on a par Titu : , une application imédiate par Jensen donne : Puisque la fonction est concave sur ...


Je vais reflechir pour prouver la 1 ère d'une autre façon