By myself !! very easy !!

a,b,c > 0, montrer que :

a^3/(b²c+bc²) + b^3/(c²a+ca²) + c^3/(a²b+ab²) >= 3/2

Expert sup Nombre de messages : 540 Age : 34 Date d'inscription : 01/02/2007

b²c+bc²=bc(b+c)<=b^3+c^3
posant S ce qui est a gauche
S>=a^3/b^3+c^3 + b^3/c^3+a^3 + c^3/a^3+b^3
posant o6
a^3=A et b^3=B et c^3=C
et nesbittt termine la demo

oui, ou bien chebychev dès le début, puis utiliser b²c+bc²=bc(b+c)<=b^3+c^3
^_^

ou bien b²c+bc²=bc(b+c)<=b^3+c^3 puis tchybetchev (-_-)

Expert grade2 Nombre de messages : 349 Age : 33 Date d'inscription : 29/04/2007

bjr
ta raison trés facile
d'aprés Nesbit on a
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) >= 3/2
et d'aprés I.A.G: a²/bc + b²/ac + c²/ab>=3
et d'aprés chebycheb
a^3/(b²c+bc²) + b^3/(c²a+ca²) + c^3/(a²b+ab²) >=
1/3[a²/bc + b²/ac + c²/ab][a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b]>=9/6=3/2

S >= (a^3+b^3+c^3)[1/(b²c+bc²)+1/(ac²+ca²)+1/(ab²+ba²)]/3 >= (a^3+b^3+c^3)[1/(a^3+b^3)+1/(b^3+c^3)+1/(a^3+c^3)]/3 >= (a^3+b^3+c^3)[9/2(a^3+b^3+c^3)]/3 = 3/2
^_^

j'ai fait la solution de cet exercice hier juste après que Adam l'a posté mais la connaixion étaiy trés faible .
On peut supposer sans perdre la généralité du problème que a>=b>=c, donc a^3>=b^3>=c^3,ab>=ac>=bc et (a+b)>=(a+c)>=(b+c) alors 1/(bc(b+c))>=1/(ac(a+c))>=1/(ab(a+b)),tchebtchev nous donne : a^3/(bc²+b²c))+b^3/(ac²+a²c)+c^3/(ab²+a²b)>=1/3(a^3+b^3+c^3)(1/(bc(b+c))+1/(ac(a+c))+1/(ab(a+b)
D’autre part on a : a^3+b^3>=ab (a+b), b^3+c^3>=bc (b+c) et c^3+a^3>=ac (a+c) donc : a^3+b^3+c^3>=1/2(ab (a+b) +bc (b+c) +ca(c+a))
Donc a^3/(bc²+b²c))+b^3/(ac²+a²c)+c^3/(ab²+a²b)>= 1/6(ab (a+b) +bc (b+c) +ca(c+a)) (1/(bc(b+c))+1/(ac(a+c))+1/(ab(a+b))
On a aussi (ab (a+b) +bc (b+c) +ca(c+a)) (1/ (bc (b+c)) +1/ (ac (a+c)) +1/ (ab (a+b)>=9 d’après Cauchy Schwartz. D’où la réponse.

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