Easy

Soit , et des réels strictement positifs tel que :
Prouver que :

Salut
Une application du théoreme de SCHUR donne la solution proprement

imanos a écrit:

Salut
Une application du théoreme de SCHUR donne la solution proprement

J'attends une solution complète à l'exercice même s'il est simple.
Sinon, je pense que tu voulais dire "l'inégalité de Schur" , car "le théorème de Schur" n'a rien à voir avec les inégalités xD

Salut
Dsl pour le retard
on pose q=ab+bc+ac et p=a+b+c et r=abc
L'inégalité équivaut à
q+9/p² >=4
en utilisant le fait de
rp=q
on trouver que l'inagalité équivaut à :
q²/rp+9(rp)/qp² >=4
l'inégalité est homogéne on peut supposer que abc=1
L'inégo équivaut a : q^3-4pq+9>=0
<==>(ab)^3+(bc)^3+(ac)^3+3abc>=ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) (juste dévellopement)
ce quié SCHUR
il faut appliquer la le fait de
a^3+b^3+c^3+3abc>=ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) et appliquer la condition abc=1

égalité lorsque a=b=c=1
SAuf erreur !!

imanos a écrit:

Salut
Dsl pour le retard
on pose q=ab+bc+ac et p=a+b+c et r=abc
L'inégalité équivaut à
q+9/p² >=4
en utilisant le fait de
rp=q
on trouver que l'inagalité équivaut à :
q²/rp+9(rp)/qp² >=4
l'inégalité est homogéne on peut supposer que abc=1
L'inégo équivaut a : q^3-4pq+9>=0
si q>=p
il suffit de montrer que p^3-4pq+9>=0 (ce qui est l'inégalité de Schur )
si p>=q
il suffit de montrer que
q^3+9-4q²>=0
<==> (q-3)(q²-q-3)>=0
ce qui acheve la preuve vu que q>=3
égalité lorsque a=b=c=1
SAuf erreur !!

Pour le premier rouge, l'inégalité de Schur est : donc il te suffit d'avoir (je pense que ce n'est pas toujours le cas)
Et pour le deuxième rouge, il suffit de montrer que :

Salut King
c'était du vite fait Pardon C'est rectifié mnt

imanos a écrit:

Salut
Dsl pour le retard
on pose q=ab+bc+ac et p=a+b+c et r=abc
L'inégalité équivaut à
q+9/p² >=4
en utilisant le fait de
rp=q
on trouver que l'inagalité équivaut à :
q²/rp+9(rp)/qp² >=4
l'inégalité est homogéne on peut supposer que abc=1
L'inégo équivaut a : q^3-4pq+9>=0
<==>(ab)^3+(bc)^3+(ac)^3+3abc>=ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) (juste dévellopement)
ce quié SCHUR
il faut appliquer la le fait de
a^3+b^3+c^3+3abc>=ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) et appliquer la condition abc=1

égalité lorsque a=b=c=1
SAuf erreur !!

Ah la la ! Le monde où on vit est vraiment fascinant:
Tu as posé :
Et on a :

Donc :


D'après Viète, a,b et c sont les solutions de l'équation:




Donc un des nombres est égal à 1, et là tu commence à faire du n'importe quoi fait maison, parce qu'on ne donne pas deux conditions à une inégalité, même homogène, ou sinon il faut enlever la condition de départ, ce qui, dans ta solution, serait admettre qu'elle est fausse.
Essaie autre chose.

oussama1305 a écrit:

Ah la la ! Le monde où on vit est vraiment fascinant:
Tu as posé :
Et on a :

Donc :


D'après Viète, a,b et c sont les solutions de l'équation:




Donc un des nombres est égal à 1, et là tu commence à faire du n'importe quoi fait maison, parce qu'on ne donne pas deux conditions à une inégalité, même homogène, ou sinon il faut enlever la condition de départ, ce qui, dans ta solution, serait admettre qu'elle est fausse.
Essaie autre chose.

Vraiment je sais plus quoi dire
on a utilisé le fait de abc(a+b+c)=ab+bc+ac pour homogéniser car l'inégo au début n'est pas homogéne apres la premiere condition est déja utilisé elle sera ignorée et on suppose que abc= 1
Vrmnt

imanos a écrit:

Salut
Dsl pour le retard
on pose q=ab+bc+ac et p=a+b+c et r=abc
L'inégalité équivaut à
q+9/p² >=4
en utilisant le fait de
rp=q
on trouver que l'inagalité équivaut à :
q²/rp+9(rp)/qp² >=4
l'inégalité est homogéne on peut supposer que abc=1
L'inégo équivaut a : q^3-4pq+9>=0
<==>(ab)^3+(bc)^3+(ac)^3+3abc>=ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) (juste dévellopement)
ce quié SCHUR
il faut appliquer la le fait de
a^3+b^3+c^3+3abc>=ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) et appliquer la condition abc=1

égalité lorsque a=b=c=1
SAuf erreur !!

imanos a écrit:

on a utilisé le fait de abc(a+b+c)=ab+bc+ac pour homogéniser car l'inégo au début n'est pas homogéne apres la premiere condition est déja utilisé elle sera ignorée et on suppose que abc=1

C'est pourtant clair :
Pour tout , et des réels strictement positifs , il existe tel que :

Ce que tu viens de dire est équivalent à dire que :
vérifie les conditions de l'exercice
vérifie les conditions de l'exercice pour tout , or cela n'est vrai que pour d'après la condition

apres qu'on pose abc=1 on oublie la conditon de pr=q
pr=q avait un role dans ma solution c'est d'homogénizer l'inégalité
Amicalement

Il ne faut pas se compliquer la tâche, et comme le titre du sujet le montre, cette inégalité est facile, la solution pourra vous le confirmer :
On pose :

Pour tout , on a d'après l'inégalité de Schur pour :

On prends :
Donc :

La condition de l'exercice équivaut à
D'où :

Et c'est fini

imanos a écrit:

apres qu'on pose abc=1 on oublie la conditon de pr=q
pr=q avait un role dans ma solution c'est d'homogénizer l'inégalité
Amicalement

Tu n'as pas le droit, nous venons de te le démontrer de deux manières différentes.
La contrainte ne te permet pas de faire une telle supposition.