Arithmétiques!!!

Déterminer tous les réels x tels que:
[x+(1/x)+1] est élément de N
Bonne chance!

Je réponds:
Posons: [x+(1/x)+1]=a tel que a appartient à IN.
On a x+(1/x)+1=a.
Donc x^2+1+x=ax.
Donc x^2+x-ax+1=0.
Donc x^2+(1-a)x+1=0.==>(E)
Cette équation a pour disciminent D.
On a D=(1-a)^2-4*1*1.
Donc D=1-2a+a^2-4.
Donc D=a^2-2a-3.
Pour que l'equation E admette des solutions il faut que D>=0.
Considérons le trinôme a^2-2a-3.
Ce trinôme a pour discriminent D'.
On a D'=(-2)^2-4*1*(-3).
Donc D'=4+12.
Donc D'=16.
Donc V(D')=4.
Les solutions de l'équation a^2-2a-3=0 sont:
a1=[-(-2)+4]/2*1=(2+4)/2=6/2=3 et a2=[-(-2)-4]/2*1=(2-4)/2=-2/2=-1.
Le signe de a^2-2a-3 est positif si a appartient à [-1;3]
Donc a=-1 ou a=0 ou a=1 ou a=2 ou a=3.
Et on sait que a est un élément de IN donc a=0 ou a=1 ou a=2 ou a=3.
Le premier cas a=0.
On a x^2+(1-a)x+1=0.
Donc x^2+(1-0)x+1=0.
Donc x^2+x+1=0.
Ce qui est impossible.
(On démontre ce résultat:
On a (2x+1)^2>=0.
Donc 4x^2+4x+1>=0.
Donc 4x^2+4x+1+3>=3.
Donc 4x^2+4x+4>=3.
Donc 4(x^2+x+1)>3.
Donc x^2+x+1>=4/3.
Et on a 4/3>0.
On peut aussi utiliser le discriminent.)
Le deuxième cas a=1.
On a x^2+(1-a)x+1=0.
Donc x^2+(1-1)x+1=0.
Donc x^2+0x+1=0.
Donc x^2+1=0.
Donc x^2=-1.
Ce qui est impossible.
Le troisième cas a=2.
On a x^2+(1-a)x+1=0.
Donc x^2+(1-2)x+1=0.
Donc x^2-x+1=0.
Ce qui est impossible.
(On démontre ce résultat de la même manière précédante.)
Le quatrième cas a=3.
On a x^2+(1-a)x+1=0.
Donc x^2+(1-3)x+1=0.
Donc x^2-2x+1=0.
Donc (x-1)^2=0.
Donc x-1=0.
Donc x=1.
Conclusion:
Pour que [x+(1/x)+1] soit un élément de IN, il faut que x=1 et c'est le seul cas.
P.S: c'est une methode de T.C.

[quote="nmo"] je répond[quote]

Bonne réponse Mr nmo,

Je vais faire une remarque pour un collegien qui m'as posé cette question:
x+1/x+1 £ |N <=> x+1/x £ |N (C'est faux)
Car ca peut étre: x<0
Bonne chance.

salam

peut être tu veux dire x entiers

sinon x + (1/x) + 1 = k <===> x² + ( 1-k)x +1 = 0

qui admet deux solutions pour tout choix de k tel que :
(k-1)² - 4 >= 0

pour x entier ===> 1/x doit être entier ===> x=1 ou -1.

.

[quote="M.Marjani"][quote="nmo"] je répond

Citation :

Bonne réponse Mr nmo,

Je vais faire une remarque pour un collegien qui m'as posé cette question:
x+1/x+1 £ |N <=> x+1/x £ |N (C'est faux)
Car ca peut étre: x<0
Bonne chance.

C'est juste je pense ; x + 1/x < 1 pour tout x < 0 ce qui assez facil a démontrer ^^ dans le cas ou x =< -1 c'est clair
dans le cas ou 0>x>=-1 on aura 1/x =< -1 ( exemple si x = -1/2 ; 1/x = -2 )

donc c'est juste !!


On a pour la démo :
x+1/x = (1+x^2)/x = a appartient a N
or x/x^2
donc x/x^2+1-x^2
ce qui nous donne x/1 donc x=1
Pour ce qui est de la régle utilisé je pense qu'elle est assez clair ^^ ++

[quote="darkpseudo"][quote="M.Marjani"]

nmo a écrit:

je répond

Citation :

Bonne réponse Mr nmo,

Je vais faire une remarque pour un collegien qui m'as posé cette question:
x+1/x+1 £ |N <=> x+1/x £ |N (C'est faux)
Car ca peut étre: x<0
Bonne chance.

C'est juste je pense ; x + 1/x < 1 pour tout x < 0 ce qui assez facil a démontrer ^^ dans le cas ou x =< -1 c'est clair
dans le cas ou 0>x>=-1 on aura 1/x =< -1 ( exemple si x = -1/2 ; 1/x = -2 )

donc c'est juste !!


On a pour la démo :
x+1/x = (1+x^2)/x = a appartient a N
or x/x^2
donc x/x^2+1-x^2
ce qui nous donne x/1 donc x=1
Pour ce qui est de la régle utilisé je pense qu'elle est assez clair ^^ ++

Oui, c'est ça; moi j'ai procédé de cette façon:

(x + 1/x +1) £ |N => ((x²+x+1)/x ) £ |N (1)
On a: x²+x+1>0, et de (1) on trouve: x>0.
De tout x>0 on a: x+ 1/x >=2, ( avec égalité si x=1/x=1
Si x +1/x>2 => x>1/x => x²-1>0 => x>1 => 1/x £ ]0,1[ qui n'apartient à |N.
Donc: la seule solution est x=1/x=1.

[quote="darkpseudo"][quote="M.Marjani"]

nmo a écrit:

je répond

Citation :

Bonne réponse Mr nmo,

Je vais faire une remarque pour un collegien qui m'as posé cette question:
x+1/x+1 £ |N <=> x+1/x £ |N (C'est faux)
Car ca peut étre: x<0
Bonne chance.

C'est juste je pense ; x + 1/x < 1 pour tout x < 0 ce qui assez facil a démontrer ^^ dans le cas ou x =< -1 c'est clair
dans le cas ou 0>x>=-1 on aura 1/x =< -1 ( exemple si x = -1/2 ; 1/x = -2 )

donc c'est juste !!


On a pour la démo :
x+1/x = (1+x^2)/x = a appartient a N
or x/x^2
donc x/x^2+1-x^2
ce qui nous donne x/1 donc x=1
Pour ce qui est de la régle utilisé je pense qu'elle est assez clair ^^ ++

la dévisibilité n'existe que dans Z...

[quote="M.Marjani"][quote="darkpseudo"]

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

je répond

Citation :

Bonne réponse Mr nmo,

Je vais faire une remarque pour un collegien qui m'as posé cette question:
x+1/x+1 £ |N <=> x+1/x £ |N (C'est faux)
Car ca peut étre: x<0
Bonne chance.

C'est juste je pense ; x + 1/x < 1 pour tout x < 0 ce qui assez facil a démontrer ^^ dans le cas ou x =< -1 c'est clair
dans le cas ou 0>x>=-1 on aura 1/x =< -1 ( exemple si x = -1/2 ; 1/x = -2 )

donc c'est juste !!


On a pour la démo :
x+1/x = (1+x^2)/x = a appartient a N
or x/x^2
donc x/x^2+1-x^2
ce qui nous donne x/1 donc x=1
Pour ce qui est de la régle utilisé je pense qu'elle est assez clair ^^ ++

Oui, c'est ça; moi j'ai procédé de cette façon:

(x + 1/x +1) £ |N => ((x²+x+1)/x ) £ |N (1)
On a: x²+x+1>0, et de (1) on trouve: x>0.
De tout x>0 on a: x+ 1/x >=2, ( avec égalité si x=1/x=1
Si x +1/x>2 => x>1/x => x²-1>0 => x>1 => 1/x £ ]0,1[ qui n'apartient à |N.
Donc: la seule solution est x=1/x=1.

salam :

je répond ..

[x+1/x+1] £ IN ( si [] voulait dire la partie entiere .. la solution sera IR+¤ ) .
je rigole .. car c impossible vu que c un exo d college ..

x+ 1/x +1 £ IN <==> x+1/x £ IN ( car x+1/x # -1 pour tout x )
<==> (x^2+1) = ax ( delta = a^2 - 4 ; ce qui oblige a d'etre >= 2 ).

pour a = 2 ==> (x-1)^2 = 0 ==> x= 1
pour a > 2 ==> x = [ a -+ V(a^2 -4 ) ] / 2

donc il y a une infinité de solutions ...

[quote="{}{}=l'infini"][quote="M.Marjani"]

darkpseudo a écrit:

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

je répond

Citation :

Bonne réponse Mr nmo,

Je vais faire une remarque pour un collegien qui m'as posé cette question:
x+1/x+1 £ |N <=> x+1/x £ |N (C'est faux)
Car ca peut étre: x<0
Bonne chance.

C'est juste je pense ; x + 1/x < 1 pour tout x < 0 ce qui assez facil a démontrer ^^ dans le cas ou x =< -1 c'est clair
dans le cas ou 0>x>=-1 on aura 1/x =< -1 ( exemple si x = -1/2 ; 1/x = -2 )

donc c'est juste !!


On a pour la démo :
x+1/x = (1+x^2)/x = a appartient a N
or x/x^2
donc x/x^2+1-x^2
ce qui nous donne x/1 donc x=1
Pour ce qui est de la régle utilisé je pense qu'elle est assez clair ^^ ++

Oui, c'est ça; moi j'ai procédé de cette façon:

(x + 1/x +1) £ |N => ((x²+x+1)/x ) £ |N (1)
On a: x²+x+1>0, et de (1) on trouve: x>0.
De tout x>0 on a: x+ 1/x >=2, ( avec égalité si x=1/x=1
Si x +1/x>2 => x>1/x => x²-1>0 => x>1 => 1/x £ ]0,1[ qui n'apartient à |N.
Donc: la seule solution est x=1/x=1.

A vous de déduire le deuxiéme cas, ça ne change rien..
2 Cas: Ou bien 1/x > x => x²-1<0 => 0<x<1 qui n'apartient pas à |N.

{}{}=l'infini a écrit:

salam :

je répond ..

[x+1/x+1] £ IN ( si [] voulait dire la partie entiere .. la solution sera IR+¤ ) .
je rigole .. car c impossible vu que c un exo d college ..

x+ 1/x +1 £ IN <==> x+1/x £ IN ( car x+1/x # -1 pour tout x )
<==> (x^2+1) = ax ( delta = a^2 - 4 ; ce qui oblige a d'etre >= 2 ).

pour a = 2 ==> (x-1)^2 = 0 ==> x= 1
pour a > 2 ==> x = [ a -+ V(a^2 -4 ) ] / 2

donc il y a une infinité de solutions ...

Il faut la montrer ( tout s'entoure de x+1/x £ |N ), si on continue de votre preuve ( x+ 1/x # -1 <=> x +1/x £ |N ) on prends x=-1 => x+ 1/x # -1 , on trouve x +1/x n'apartient pas à |N.
Amicalement.

A vous de déduire le deuxiéme cas, ça ne change rien..
2 Cas: Ou bien 1/x > x => x²-1<0 => 0<x<1 qui n'apartient pas à |N.



salam :


Et si x ou 1/x n'appartiennent à IN ... t'as r1 à conclure ...

Et pour ma réponse .. M.Marjani .. j'ai dit que


x+ 1/x +1 £ IN <==> x+1/x £ IN

et pas ( x+ 1/x # -1 <=> x +1/x £ IN ) ...

à + ...

Et si tu n'es pas encore convaincu ...

prend une autre solution que j'ai donné autre que 1 ..

par exemple


pour a = 4 ... x = 2 +V3 est une solution

si on vérifie [ (2+V3) + 1/(2+V3) + 1 ] = a +1 = 5 £IN .


>En effet ; une solution qui se vérifie ne guarantit pas toutes les solutions proposées .. mais je t'as donné cet exemple pour te montrer que 1 n'est pas la seule solution . . .

amicalement ..

{}{}=l'infini a écrit:

Et si tu n'es pas encore convaincu ..

Je n'ai pas contre la solution que vous avez trouvé, mais contre x+1/x £ |N, j'ai dis qu'il faut la montrer.
Les collégiens ne comprenent pas ce qu'un delta, c'est pourquoi j'ai travaillé avec une methode de C.
En tout cas bien joué.

Oui tu a raison L'infini , je m'excuse j'avais pas fait attention au réel !!

Remarque : admettre son erreur n'est pas une preuve de faiblesse , mais de force de caractère ^^