Arithmetiques

Salut!!

Soit p un nombre entier , premier et impair .

On considère l'équation : (E): x² -y² =p .

1)-Résoudre dans N² l'équation (E).
2)-On considère l'équation à N : (F): p²x² - y² = p^3.

a)-prouver que si (x,y) est une solution de (F) ,y est un multiple de p .
b)-résoudre dans N² l'équation (F).

Bonne chance!

salam
1) (x-y)(x+y)=p
==> [x-y=1 et x+y=p ] ou [x-y=p et x+y=1]

2) p²x²-y²=p^3 <=> p(px²-p²)=y²
donc y est un multiple de p

3) depuis la question 2 on a y=kp
donc
p²x²-k²p²=p^3
==> x²-k²=p (pck 0 n'est pas premier)
apres tu conclut !

1 ) x = (p+1)/2 et y = (p-1)/2

2) après un évident changement on obtient
(F) : x^2 = (y^2+p^3)/p^2 (p # 0 )
= (y/p)^2 + p
x entier et p entier alors y/p est aussi entier donc p/y

3) comme amjad l'a trouvé
x^2 - k^2 = p
x= (p+1)/2 et y= p(p-1)/2