Exercices arithmétiques

1) Touver tous les couples entiers naturels premiers entre eux(leur pgcd est égale à1) et inférieurs à 100 dont la somme est 150 et la différence est multupe de 7.

2) n est un entier ayant 4 chiffres et s'écrit n=a4b4, si on échange a et b on obtient l'entier p. Sachant que le reste de la division de p par n est égale à 2, touver n.

pour 1) :
a=b[7] et a+b=150; a^b=1
==>150-2b=0[7]
on travail dans Z/7Z donc on trouve:
b=7k+5 d'où a=-7k+145 puisque (a,b)£[0.100] un petit encadrement suffit pour trouver les a et les b ensuite exclure les valeurs qui donne a^b#1.

BJR tt Le Monde !!

Le 2eme exercice est Tres joli !

On a n = 1000a + 10b + 404

On sait qu’il existe q tel quue : p = nq + 2
nq + 2 − b4a4 = q × (1000a + 10b + 404) + 2 − 1000b + 10a + 404
apres devellopement :
= 10 (100q − 1) a + 10 (q − 100) b + 404q + 402
= 0 .. car p=b4a4

Donc :: faut que que : 10 divise 404q + 402 .. C a dire : 5 divise 202q − 201

On a : 202q − 201 = 2q − 1 Modulo 5
Les Cas :

2×1−1 = 1
2×2−1 = 3
2×3−1 = 5
2×4−1 = 7
2×5−1 = 9
2×6−1 = 11
2 × 7 − 1 = 13
2 × 8 − 1 = 15
et 2 × 9 − 1 = 17. .. Donc la seul possibilites est : q=3 , (2×3−1 = 5)

En la remplace dans l equation :
10 (100q − 1) a + 10 (q − 100) b + 2 (202q − 201) = 0

2990a - 970b = -810
97b - 299a = 81 .. Puis On resout par Euclide :

a = 2 + 97k , b = 7 + 299k .. Et comme a et b sont constitue d' un seul chiffre , Donc On prend k=0 .. a=2 ; b=7

n = 2474 ... On verifie : p=7424 = 2474x3 + 2 ..