Une généralisation de ROLLE

Soient a et b dans IR, b>a, n £IN*, f :[a,b]->IR de classe C(n-1) et n fois dérivable sur ]a,b[.
Soient x0,x1,...,xn dans [a,b] deux à deux distincts et tels que:

Montrer qu'il existe c£]a,b[ tel que f^(n)(c)=0

soit f :[a,b]->IR de classe C(n-1) et n fois dérivable sur ]a,b[ et
qqsoit i£{0,1,2,....,n-1} f(xi)=f(xi+1)

sur [x0,x1] C [a,b] on a :
f est continue sur [x0,x1]
f est dérivable sur ]x0,x1[
et f(x0)=f(x1)
donc d'après le Th.Rolle on a :
il existe C1 £ ]x0,x1[ tq f'(C1)=0

......

sur [xn-2,xn-1] C [a,b] on a :
f est continue sur [xn-2,xn-1]
f est dérivable sur ]x0,x1[
et f(xn-2)=f(xn-1)
donc d'après le Th.Rolle on a :
il existe Cn £ ]xn-2,xn-1[ tq f'(Cn)=0

Bilan:
soit C£[a,b] tq: C=max(C1,C2,.....,Cn) et
f'(C)=0

On a f est continue sur [a,b] (de classe C(n-1))
et f est n fois dérivable sur ]a,b[
et alors :
il existe C' £]a,b[ tq f^(n)(C')=0

Ps: on pouvait traiter cette dernière partie par étapes sur [a,b] C.a.d traiter le cas de f' , f" , f^(3) ...pour aboutir au résultat final, comme c'était le cas pour la première .

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