equation cartésienne dans l'espace

Bonjour j'aurais besoin d'aide pour cet exercice j'ai compris mais je ne sais pas comment faire

Un examen sportif comporte 3 epreuves , notées avec coefficient : natation , course a pied , vélo
Quatre amis ont tous obtenu un score de 60points au total avec les notes ci-dessous : http://www.zimagez.com/zimage/maths110892014.php

On représente l'examen de chaque candidat par un point M(x ; y ; z ) ou x , y et z sont les notes obtenues sans coefficient
Ainsi A( 0 , 10 , 15) représente l'examen d' Alex
On voudrait entre autres retrouver les coefficients appliqués aux épreuves

1) a/ montrer que B ,C, et D sont alignés et justifier que les coordonnées de ces 3points verfient l'equation x+y+z =30
b/ determiner les reels a , b et c tels que ax+by+cz=d soit une equation du plan (ABC)
en deduire les coefficients des epreuves si la sommes des coefficient est 6 .

2) Eric a obtenu x=11 , y=6 et z=13
a/ quel est son score total ? Le point E le représentant est il un point du plan (ABC) ?
b/ justifier que x+y+z=30 est l'equation du plan (BDE)

3) a/ quel est 'ensemble Q des points verifiant x/6 + y/2 + z/3 = 15 ? En donner un interprétation concréte
b/ représenter les plans ( ABC) , (BDE) et Q . Quelle est l'intersection des plans (ABC) et (BDE) ?


merci d'avance

svp

alyssa a écrit:

.....Quatre amis ont tous obtenu un score de 60 points au total avec les notes .....
On représente l'examen de chaque candidat par un point M(x ; y ; z ) ou x , y et z sont les notes obtenues sans coefficients
Ainsi A( 0 , 10 , 15) représente l'examen d' Alex
On voudrait entre autres retrouver les coefficients appliqués aux épreuves

1) a/ montrer que B ,C, et D sont alignés et justifier que les coordonnées de ces 3 points verfient l'equation x+y+z =30

Il suffira de vérifier que les vecteurs BD et BC sont colinéaires ; or BD=(1,1,-2) et BC=(-2,-2,4) on voit bien que BC=(-2).BD ( en vecteurs ) . Pour la suite , il suffit de vérifier que les coordonnées (x,y,z) de chacun des points B,C et D satisfont la relation x+y+z=30 .
On a bien 10+10+10=8+8+14=11+11+8=30 !!!

b/ determiner les reels a , b et c tels que ax+by+cz=d soit une equation du plan (ABC)
en deduire les coefficients des epreuves si la sommes des coefficient est 6 .

On écrit que les coordonnées x, y et z des 3 points A,B et C satisfont à l’équation de ce plan , ce qui donnera trois équations :
(1) 10.b+15.c=d
(2) 10.a+10.b+10.c=d
(3) 8.a+8.b+14.c=d
Il faudra donc résoudre ce système !! On élimine a ( et en fait b aussi ) entre la 2ème et 3ème équation de la manière suivante :
On multiplie la (2) par 4 puis la (3) par 5 et on soustrait Membre à Membre
40.a+40.b+40.c=4.d
40.a+40.b+70.c=5d d’où 30.c=d
la (1) deviendra 10.b+15.c=30.c d’où 10.b=15.c
Enfin la (2) s’écrira 10.a+10b+10.c=d soit 10.a+15.c+10.c=30.c d’où 10.a=5.c
Ainsi c=2.a ; 10.b=15.c=30.a donc b=3.a et d=30.c=60.a
Une équation du plan cherché sera :
a.x+3a.y+2a.z=60.a
Comme a est arbitraire , on peut SIMPLIFIER pour obtenir x+3y+2z=60
Telle est une autre équation du plan cherché ; il apparaît alors que :
La Natation a pour Coefficient 1
La Course a pour Coefficient 3 et
Le Vélo a pour Coefficient 2

2) Eric a obtenu x=11 , y=6 et z=13
a/ quel est son score total ? Le point E le représentant est il un point du plan (ABC) ?
b/ justifier que x+y+z=30 est l'equation du plan (BDE)
a)Pour Eric , il suffit d’utiliser les Coefficients ci-dessus … son Score sera égal à (11+(3.6)+(2.13))=55 ; le point E n’est pas dans le plan ( ABC) car le Score d’Eric n’est pas égal à 60 .
b) Les trois points B , D et E étant NON ALIGNES , déterminent un PLAN et un seul (P) ; puisque les coordonnées x, y et z de ces 3 points satisfont à l’équation x+y+z=30 alors le plan d’équation x+y+z=30 contient les points B, D et E et enfin , en raison de l’unicité , (P) a pour équation x+y+z=30

Pour la dernière Question , je te la laisse pour Nous prouver Ta Bonne Volonté ….. tu n’as qu’à faire des Propositions et on te corrigera le cas échéant ……

LHASSANE

que faisont nous de cette information : deduire les coefficients des epreuves si la sommes des coefficient est 6

BJR alyssa !

Bien sûr que cette info nous a servi ...
J'ai écrit :
<< Une équation du plan cherché sera :
a.x+3a.y+2a.z=60.a
Comme a est arbitraire , on peut SIMPLIFIER pour obtenir x+3y+2z=60
Telle est une autre équation du plan cherché >>

Le Score d'Alex , Benoit et Carl sont égaux à 60 et leurs notes sont représentées par les coordonnées x ,y et z
Comme 1+3+2=6
C'est bien qu'on a là les Coefficients des 3 Matières !!!

LHASSANE

je ne comprend pas comment vous avez trouver ca Ainsi c=2.a ; 10.b=15.c=30.a donc b=3.a et d=30.c=60.a

BJR !

<< Enfin la (2) s’écrira 10.a+10b+10.c=d soit 10.a+15.c+10.c=30.c d’où 10.a=5.c
Ainsi c=2.a ; 10.b=15.c=30.a donc b=3.a et d=30.c=60.a >>

On a 10.a=5.c on divise par 5 le tout pour avoir 2.a=c
DONC c=2.a

Celà étant on sait que 10.b=15.c ; on y remplace c par sa valeur 2.a pour obtenir 10.b=15.(2.a)=30.a d'ou , après division par 10 , on aura b=3.a

Enfin d=30.c=30.(2.a)=60.a et c'est tout .....


Tout ceci n'est qu'une résolution pas à pas du système :
(1) 10.b+15.c=d
(2) 10.a+10.b+10.c=d
(3) 8.a+8.b+14.c=d


LHASSANE

a+++

a/ quel est 'ensemble Q des points verifiant x/6 + y/2 + z/3 = 15 ? En donner un interprétation concréte . Je dois dire quoi

alyssa a écrit:

a/ quel est 'ensemble Q des points verifiant x/6 + y/2 + z/3 = 15 ? En donner un interprétation concréte . Je dois dire quoi

BJR !! De retour .....

Si tu multiples l'équation par 6 , tu obtiendras.
x+3.y+2.z=90

En rapprochant cette équation de celle qu'on a vu précedemment , il s'avère que les points de ce Plan sont les élèves qui ont obtenu un Score égal à 90 .
Tu as bien remarqué que si x, y et z représentent les points obtenus par un élève aux 3 matières et puisque les coefficients sont 1,3 et 2 dans l'ordre , alors le Total Obtenu est bien :
x+3.y+2.z , donc ce Total , le Score , vaut ICI 90 .

LHASSANE

ah d'accord merci

x+3.y+2.z=90 est l'equation du plan ?

alyssa a écrit:

x+3.y+2.z=90 est l'equation du plan ?

Oui , c'est celà !
Les équations
x+3.y+2.z=90
et
(x/6) +(y/2) + (z/3)=15

sont les équations d'UN MEME PLAN !!!
Et , de manière CONCRETE donc en rapport avec ton exo , tous les élèves qui réalisent un Score de 90 sont situés dans ce PLAN là !!!

Voili-Voilou !!

LHASSANE

ce plan est difficile a realiser , 90 est grand comme meme

alyssa a écrit:

ce plan est difficile a realiser , 90 est grand comme meme

D'accord ! Mais on ne te demande pas de le tracer ..... seulement d'en donner une INTERPRETATION CONCRETE ..... ce n'est pas pareil !!
Pour l'interprêtation c'est fait .

LHASSANE

si la question 3b je dois tracer les 3 plans

alyssa a écrit:

si la question 3b je dois tracer les 3 plans

OUI , mais il s'agit des PLANS :
x+3.y+2.z=60
et x+y+z=30

Ce n'est pas dur dur car tu as déjà les coordonnées (x,y,z) des 3 points A , B et C et aussi ceux de B,D et E .

LHASSANE

d'accord merci pour tout

De rien ....
Sauf que je te rappelle que les plans (ABC) et Q sont PARALLELES


a+++ LHASSANE