olypiade de khouribga 2010

حل في R النظمة التالية
xy+3x-y=3
3x^2y-xY^2=-4


حدد الأعداد الصحيحة النسبية التي يكون من أجلها العدد
n^3-2/n-2

Je commence par le premier:
On a le système suivant:
xy+3x-y=3.
3x^2y-xy^2=-4.
Donc
xy+3x-y=3.
xy(3x-y)=-4.
Posons a=xy et b=3x-y.
Alors notre système équivaut à
a+b=3.
ab=-4.
Donc a et b sont solution de l'équation t^2-3t-4=0.
Cette équation a pour discriminent 25.
Donc elle admet pour solutions:
x1=(3+5)/(2*1)=8/2=4 et x2=(3-5)/(2*1)=-2/2=-1.
Donc a=4 et b=-1 ou a=-1 et b=4.
Donc xy=4 et 3x-y=-1 ou 3x-y=4 et xy=-1.
Résolvons maintenant le système:
xy=4.
3x-y=-1.
Pour cela, on pose: e=3x et f=-y.
Notre système équivaut à
3x*(-y)=-4*3.
3x-y=-1.
Donc
ef=-12.
e+f=-1.
Donc e et f sont les solution de l'équation t^2+t-12=0.
Cette équation a pour discriminent 49.
Donc elle admet pour solution:
x1=(-1-7)/(2*1)=-8/2=-4 et x=(-1+7)/(2*1)=6/2=3.
Donc e=-4 et f=3 ou e=3 et f=-4.
Donc 3x=-4 et -y=3 ou 3x=3 et -y=-4.
Donc x=-4/3 et y=-3 ou x=1 et y=4.
Donc S1={(-4/3;-3);(1;4)}.
Résolvons maintenant l'autre système:
xy=-1.
3x-y=4.
Pour cela, on pose: e=3x et f=-y.
Notre système équivaut à
3x*(-y)=-1*(-3).
3x-y=-1.
Donc
ef=3.
e+f=-1.
Donc e et f sont les solution de l'équation t^2+t+3=0.
Cette équation a pour discriminent -11.
Donc elle n'admet aucune solution.
Il en résulte que la solution du système de départ est S=S1.
Finalement S=={(-4/3;-3);(1;4)}.
Sauf erreur.

chaimaa1994 a écrit:

التمرين الثاني

حدد الأعداد الصحيحة النسبية التي يكون من أجلها العدد
n^3-2/n-2

Ou est la question?
En plus, écris en utilisant les parenthèses pour qu'on sache ou est le dénominateur.

chaimaa1994 a écrit:

حل في R النظمة التالية

التمرين الثاني

حدد الأعداد الصحيحة النسبية التي يكون من أجلها العدد
n^3-2/n-2

Nous avons
Et
Donc
Éliminons tous les cubes non parfaits :

Sauf erreur.
Au plaisir !

Pour l'autre exercice:
Il faut trouver les valeurs de n pour que appartient à IZ.
Considérons un nombre a de IZ tel que .
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Les diviseurs de 6 sont 1, 2, 3, et 6.
On a donc n-2=1 ou n-2=-1 ou n-2=2 ou n-2=-2 ou n-2=3 ou n-2=-3 ou n-2=6 ou n-2=-6.
Donc n=3 ou n=1 ou n=4 ou n=0 ou n=5 ou n=-1 ou n=8 ou n=-4.
Sauf erreur.

nmo a écrit:

Pour l'autre exercice:
Il faut trouver les valeurs de n pour que appartient à IZ.
Considérons un nombre a de IZ tel que .
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Les diviseurs de 6 sont 1, 2, 3, et 6.
On a donc n-2=1 ou n-2=-1 ou n-2=2 ou n-2=-2 ou n-2=3 ou n-2=-3 ou n-2=6 ou n-2=-6.
Donc n=3 ou n=1 ou n=4 ou n=0 ou n=5 ou n=-1 ou n=8 ou n=-4.
Sauf erreur.

Je pense que c'est le contraire, il faut trouver toutes les valeurs possibles à n pour que
Autrement dit, pour que divise
Enfin, c'est comme cela que je l'ai compris, moi. Me basant sur le fait que signifie que a divise b.
Au plaisir !

1/ Résoudre en |R le system
xy+3x-y=3
3x^2*y-x*y^2=-4
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On a : y(x-1)=3-3x => y=-3(x-1)/(x-1)=-3 (1)
Remplaçant y=-3 dans la deuxiéme equation du system, on trouve que :
-9x²-9x=-4 => -9x²-9x+4=0
Delta=225 => x1=-4/3 et x2=1/3
=> S1={(-4/3,-3);(1/3,-3)}
Avec la méme methode, prenons: x=1, on trouve que : -y²+3y+4=0
=> y1=4 ; y2=-1 => S2={(1,-1);(1,4)}
D'ou S={(-4/3,-3) ; (1/3,-3) ; (1,4) ; (1,-1)}

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Voilà des résultats que tu n'as pas trouvé Mr nmo

CQFD