exercice olympiade

a et b et c des nombres reels tel que a²+b²+c²=1
montrez que -1/2<=ab+bc+ac <=1

(a+b+c)²>=0
ab+bc+ac>=-(a²+b²+c²)/2
ab+bc+ac>=-1/2 (1)

ab+bc+ac <=1
=> ab+bc+ac <=a²+b²+c²
=> a²+b²+c²-(ab+bc+ac)>=0
On a:ab+bc+ac>=-1/2 (1)
=> -(ab+bc+ac)=<1/2
Donc: a²+b²+c²-(1/2)>=0
1-1/2>=0
1/2>=0
Ce qui est vrai.

Sinon: a²+b²+c²>=ab+bc+ac
=> ab+bc+ac=<1 (2)
De (1) et (2) le résultat.

CQFD.

trebien monsieur

a²+b²>= 2ab et b²+c²>= 2bc et c²+a²>= 2ac
donc en sommant les trois inego
2(a²+b²+c²) >=2( ab+bc+ac) ==> 1= a²+b²+c² >= ab+bc+ac ou apres reordenement ...

et la deuxieme on a
ab+bc+ac >= -1/2 = -a²-b²-c²/2 <==> 2ab+2ac+2bc+a²+b²+c²>= 0 <==> (a+b+c)^2>=0 ce qui est vrais