Epreuve de casablanca numéro 3 !

Exo 1 :
définissez les nombres a , b , c qui permettent que :
5(a²+b²+c²) +4(a+b+c) = 4(ab +ac +bc ) -12

Exo 2 :
soit l'équation suivante sur R : 2x² + (4m-2 )x -2m+5 = 0 , m est un paramètre réel .
Determinez les valeurs de m pour que cette équation ait 2 solutions x1 et x2: -2<x1<-1<x2

Exo 3 :
a , b , c , x , y , z des nombres réels positifs :
a+x = b+y = c+z = K
démontrez que : ax + by + cz =< k²

exo 4 :
abc un triangles isocèle en A :
I منتصف [bc] et h المسقط العمودي de I sur ( ac ) et J منتصف [IH]
démontrez que (AJ) et (BH) sont perpendiculaires .

exo 5 :
EFG un triangle équilatéral entouré par le cercle (C) dont le centre est ' o '
sur [OE) et en dehors de (C) on prend un point M
démontrez que 1/ME + 1/MF + 1/MG >= 3/OM

pour exo 3 :

just tu remarque que k²=(a+x)²>= 4ax

et k²=(b+y)²>=4by et k²=(c+z)²>= 4cz

donc on sommant les trois inego

3k²>= 4(ax+by+cz) <==> k²>= 3k²/4 >= ax+by+cz


---------------------------------------------------------------------

pour exo 2
vous remarquez que b²>= 4ac <==>(4m-2)²>= 8(5-2m)
et c b1 claire les soluc du equation et de meme vous pouver conclure ds inegos d'apres ce qui annoncé !


je poste les autres solucs apres !!

youpiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii j'ai justeee le 3eme exoosss !!!!

J'ai fais la meme soluce que toi pour le 2ème exo sauf qu'en fait j'ai trouvé une contradiction :
d'abord on te dit ax + by + cz =< k²
Outre à la fin on trouve que 3k²/4 >= a la somme des produits
ce qui implique que k²>la somme des produits
et donc il n'y a pas de cas d'égalités ... j'espère que ma réponse est juste quand même xD

BJR!!

Merci bien Mim pour l'épreuve !!
Je pense que l'olymp n'est pas difficile et n'est pas façile

Voilà mon premiére essaie avec le quatriéme:
On va utiliser la multiplication scalaire:
(tout est vecteurs)
-----------------------------------------------------------------------
On va utiliser: (vecteurs) AC.IH=0 (car (AC) et (IH) sont perpendiculaires.

On a: AJ.BH=(AC+CJ)(BI+IH)=AC.BI+CJ.BI+CJ.IH
=> AJ.BH=AC.IC+(CH+HJ).IC+(CH+HJ).IH
=> AJ.BH=AC.HC+(CH+HJ)(IH+HC)+HJ+IH
=> AJ.BH=AC.HC+CH.HC+HJ.IH+HJ.IH
=> AJ.BH=AC.HC-CH²+2HJ.IH
=> AJ.BH=AC.HC-CH²-IH²
=> AJ.BH=AC.HC-IC²
=> AJ.BH=(sans vecteurs)CH*CA-IC² [CH et CA ont le méme sense]
Et souvent (العلاقات المترية) dans le triangle AIC On a:
CH*CA-IC²=0
Donc: => AJ.BH=0
Il en résulte donc que: (AJ) et (BH) sont perpendiculaires.
CQFD.

Vas y marjani j'ai besoin de ta soluce pour le 3ème exo :p ( ps nice pour le 4ème exo j'ai pas réussi a le faire ( vraiment rien de rien ) xd )

Pour cinqiéme:

On sait que:
OM+OE>=ME et: OM+OG>=MG et: OM+OF>=MF
Puisque: OE=OG=OF [le cercle entoure le triangle]
Donc: 1/(OM+OE)+1/(OM+OE)+1/(OM+OE)=<1/ME+1/MG+1/MF
=> 3/(OM+OE)=<1/ME+1/MG+1/MF
=> 1/ME+1/MG+1/MF-3/OE>=3/OM
On sait que: 3/OE >=0
D'ou: 1/ME+1/MG+1/MF>=3/OM

CQFD.

Mim a écrit:

Vas y marjani j'ai besoin de ta soluce pour le 3ème exo :p ( ps nice pour le 4ème exo j'ai pas réussi a le faire ( vraiment rien de rien ) xd )

Non, ne dis pas comme ça, vous allez réussir ncha2 lah.
Pour le troisiéme: a+x = b+y + c+z = K , Ou bien:a+x = b+y = c+z = K?
Je re aprés un douche .

Ah c'est bon je m'étais trompé j'ai édité :
a+x = b+y = c + z = k
1ere question : c quoi vecteurs en arabe ? ( moutajihat ou soulami ou quoi )
2ème question : pourrais-tu écrite la solution du dernier exo en latex stp pour que ça soit plus clair ?

Pour le cinquième j'ai fais ça :
Soit le triangle : OMG : OG + GM > OM
donc 1/OM > 1/OG + 1/GM
soit le triangle : OEM : OE + EM > OM
donc 1/OM > 1/EM + 1/OE
de mème pour le triangle : OFM ou on aura : 1/OM > 1/MF + 1/OF
On a EFG un triangle équilatéral ce qui équivaut que : oe = og = of
donc : 3/OM > 3/OE + 1/EM + 1/GM + 1/FM
et là je me suis planté ><
et je n'ai pas compris ta déduction sur l'avant dernière ligne ( je trouve qu'elle n'aboutit a rien )

M.Marjani a écrit:

Pour cinqiéme:

On sait que:
OM+OE>=ME et: OM+OG>=MG et: OM+OF>=MF
Puisque: OE=OG=OF [le cercle entoure le triangle]
Donc: 1/(OM+OE)+1/(OM+OE+1)+1/(OM+OE+1)=<1/ME+1/MG+1/MF
=> 3/(OM+OE=<1/ME+1/MG+1/MF
=> 1/ME+1/MG+1/MF-3/OE>=3/OM
On sait que: 3/OE >=0
D'ou: 1/ME+1/MG+1/MF>=3/OM

CQFD.

Ah bon?! moi, je le crois pas ,

moi non plus :/

bravo Mim deux exercice
cé le même que j'ai eu mais malheuresment je ne crois pas pouvoir passer pour le troisième exercice ce que j'ai fait
on a x+a=c+z
on prend
a^2+x^2=<c^2+z^2
aloes 2ax>=2cz

puisque a^2+x^2=<2ax=<2cz

alors
K^2-2ax-cz=a^2+x^2+2AX-2ax-cz>=0

K^2>=2ax+cz

même chose pour k^2>=2ax+by
Et K^2>=2by+cz
et K^2>=by+2CZ

en faisant la somme ça donne
4K^2>=4by+4ax+4cz
by+ax+cz=<K^2

Marjaniii , j'ai pas compris cette ligne
Donc: 1/(OM+OE)+1/(OM+OE+1)+1/(OM+OE+1)=<1/ME+1/MG+1/MF !??????

pain aymen ; j'ai passs faiiss la meme demarcheee : j'ai travaillé ac l'IAG et j'ai trouvé que:by+ax+cz=<4/3k²
et on sait keee 4/3k²<=k² donc
on déduit que by+ax+cz=<K²

on va utiliser: (vecteurs) AC.IH=0 (car (AC) et (IH) sont perpendiculaires."j'ai jamais entendu !!!!!!!

si produit scalaires
AC.IH=AC.IH.COS(90)
AC.IH=AC.IHx0

mlle betty la methode est elle juste alors de l'ex 3

tu as passé le meme olymp que nous ? si oui comment tu as passé ?

oui je crois que jé fé juste le 3ème

Mdr ^^ tout ceux que je connais ont fait juste le premier exo ( voir rien ) moi c pareil , on vient juste de finir le leçon de la multiplication scalaire en classe et j'avais jamais fait d'exo de paramètres m auparavant donc bon ... pour le dernier exo ca va j'ai essayé d'avancé un peu ...
et toi tes potes c'est pareil ou il y a eu des eleves qui ont fait du bon travail ?

noirouge a écrit:

M.Marjani a écrit:

Pour cinqiéme:

On sait que:
OM+OE>=ME et: OM+OG>=MG et: OM+OF>=MF
Puisque: OE=OG=OF [le cercle entoure le triangle]
Donc: 1/(OM+OE)+1/(OM+OE)+1/(OM+OE)=<1/ME+1/MG+1/MF
=> 3/(OM+OE=<1/ME+1/MG+1/MF
=> 1/ME+1/MG+1/MF-3/OE>=3/OM
On sait que: 3/OE >=0
D'ou: 1/ME+1/MG+1/MF>=3/OM

CQFD.

Ah bon?! moi, je le crois pas ,

Pourquoi tu le crois pas
On a clairement: OM+OE>=ME et: OM+OG>=MG et: OM+OF>=MF
D'ou: 1/(OM+OE)=<1/ME et: 1/(OM+OG)=<1/MG et: 1/(OM+OF)=<1/MF
Donc en sommant: 1/(OM+OE)+1/(OM+OG)+1/(OM+OF)=<1/ME+1/MG+1/MF
(Si tu veux dire le "1" qui est deux fois utiliser par faute de frappe, ça ne fait aucun changement dans la methode, c'est réctifier.)
Ou est l'error Mr anouar

Re.

Mlle Betty

On a clairement: OM+OE>=ME et: OM+OG>=MG et: OM+OF>=MF
D'ou: 1/(OM+OE)=<1/ME et: 1/(OM+OG)=<1/MG et: 1/(OM+OF)=<1/MF
Donc en sommant: 1/(OM+OE)+1/(OM+OG)+1/(OM+OF)=<1/ME+1/MG+1/MF.

L'erreur c'est que t'avais ajouté un " 1 " a l'opération taleur , si tu vérifies tu trouveras : 1/(om+oe+1) ce qui est faux .

(Si tu veux dire le "1" qui est deux fois utiliser par faute de frappe (j'ai copié mais il est collé faussement xd), ça ne fait aucun changement dans la methode, c'est réctifier.)

Effectivement mnt c'est bon ^^ mnt si tu peux expliquer ton passage de : 3 ( om + oe ) =< ....
vers la fin ca serait bien car jusqu'a là j'ai suivis les memes etapes que toi mais après j'ai bloqué ^^ j'attend .