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 Epreuve de casablanca numéro 3 !

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noirouge
M.Marjani
Mlle Betty
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Mim
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M.Marjani
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M.Marjani


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MessageSujet: Re: Epreuve de casablanca numéro 3 !   Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 EmptyJeu 13 Mai 2010, 00:38

C'est façile de conclure Very Happy

J'ai dis que: OE=OG=OF.
Et:
OM+OE>=ME
OM+OG>=MG
OM+OF>=MF

Remplace OG et OF avec OE donc:
OM+OE>=ME
OM+OE>=MG
OM+OE>=MF

D'ou ce que j'ai dis.
Au plaisir Very Happy
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Mlle Betty
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MessageSujet: Re: Epreuve de casablanca numéro 3 !   Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 EmptyJeu 13 Mai 2010, 00:39

Merciii Very Happy
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M.Marjani
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M.Marjani


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MessageSujet: Re: Epreuve de casablanca numéro 3 !   Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 EmptyJeu 13 Mai 2010, 01:19

Mlle Betty a écrit:
pain aymen ; j'ai passs faiiss la meme demarcheee : j'ai travaillé ac l'IAG et j'ai trouvé que:by+ax+cz=<4/3k²
et on sait keee 4/3k²<=k² donc
on déduit que by+ax+cz=<K²

Ca marche pas malheureusement :
Car: 4/3k²<=k² <=> 4/3=<1 Ce qui est faux :s
Tu peux réviser si t'as fais une faute de frappe.

-----------------------------------------------------------------------------------

Exo:3
a²+x²>=2ax <=>(a+x)²>=4ax
=> k²>=4ax
De méme: k²>= 4by
De méme: k²>=4cz

D'ou en sommant: 3k²>=4(ax+by+cz)
=>(3/4)k²>=ax+by+cz
3/4=<1 et k positive <=> (3/4)k²=<k²

D'ou: ax+by+cz=<k²
CQFD.
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M.Marjani
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M.Marjani


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MessageSujet: Re: Epreuve de casablanca numéro 3 !   Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 EmptyJeu 13 Mai 2010, 01:25

Mim a écrit:
J'ai fais la meme soluce que toi pour le 2ème exo sauf qu'en fait j'ai trouvé une contradiction :
d'abord on te dit ax + by + cz =< k²
Outre à la fin on trouve que 3k²/4 >= a la somme des produits
ce qui implique que k²>la somme des produits
et donc il n'y a pas de cas d'égalités ... j'espère que ma réponse est juste quand même xD

Mais donc prenons: a=b=c=x=z=y=0
=> il ya un cas d'égalité.
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W.Elluizi
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W.Elluizi


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MessageSujet: Re: Epreuve de casablanca numéro 3 !   Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 EmptyJeu 13 Mai 2010, 09:43

Et Moi Qui Cherchait à démonterer le 3eme avec K=b+y+c+z!!
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Mim
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MessageSujet: Re: Epreuve de casablanca numéro 3 !   Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 EmptyJeu 13 Mai 2010, 10:00

Elle a fait juste une faute de frappe elle aussi a eu 3/4k² et moi aussi mais je voudrais vous proposer une solution qu'une amie a faite et vous me dites vous en pensez quoi :
(a-x)²>0
a²+x²>2ax
(a+x)²>4ax
de meme pour les 2 autres on aura : ( b+y)²>4by et ( c+z)²> 4cz
et après elle a fait :
k²>0
k²>4ax
k²>4cz
k²>4by
donc : 4k² >= 0+4ax + 4cz + 4by
donc : 4k² >= 4( ax +cz + by )
donc : k²>= ax + cz +by
ce qui t'amène directement a la question demandé ^^
Au plaisir
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Mim
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MessageSujet: Re: Epreuve de casablanca numéro 3 !   Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 EmptyJeu 13 Mai 2010, 10:03

M.Marjani a écrit:

Remplace OG et OF avec OE donc:
OM+OE>=ME
OM+OE>=MG
OM+OE>=MF

Effectivement ... j'aurais du travailler avec ME et MG et MF moi j'ai travaillé de sote que ce soit MO qui soit plus grand que les 2 autres cotés :/ après j'ai pas eu le temps de revérifier j'ai perdu trop de temps dans l'exo 3 car j'ai fais des fautes d'inattention mais bon
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Mlle Betty
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MessageSujet: Re: Epreuve de casablanca numéro 3 !   Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 EmptyJeu 13 Mai 2010, 10:42

Marjaniiii j'aii faiss la meme solution et meme j'ai fais le cas l'egalitéé !! alrs j'ai justeee !!!!
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noirouge
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MessageSujet: Re: Epreuve de casablanca numéro 3 !   Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 EmptyJeu 13 Mai 2010, 11:46

M.Marjani a écrit:
Pour cinqiéme:

On sait que:
OM+OE>=ME et: OM+OG>=MG et: OM+OF>=MF
Puisque: OE=OG=OF [le cercle entoure le triangle]
Donc: 1/(OM+OE)+1/(OM+OE)+1/(OM+OE)=<1/ME+1/MG+1/MF
=> 3/(OM+OE)=<1/ME+1/MG+1/MF
=> 1/ME+1/MG+1/MF-3/OE>=3/OM
On sait que: 3/OE >=0
D'ou: 1/ME+1/MG+1/MF>=3/OM

CQFD.
tu as bien fait avec la correction(enfin c'etait le 1 qui m'as troublé et ainsi j'ai préféré de ne pas continuer la lecture de ta solution),,mais ça reste faux !
voilà tu viens de démontrer que :
Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 Gif
crois tu que :
Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 Gif?????
la réponse c'est non!
en tout cas cette méthode n'aboutira à rien puisque ce que tu as démontré est plus faible que ce qu'on veut démontrer en effet:
Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 Gif
amicalement Wink
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M.Marjani
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M.Marjani


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MessageSujet: Re: Epreuve de casablanca numéro 3 !   Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 EmptyJeu 13 Mai 2010, 11:57

Bon, pour le premiére exercice:
Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 Ss-1
Il faut donc juste résoudre le systéme en ]-1,0[et on trouve le triple (a,b,c) qui réalise l'equation.


Dernière édition par M.Marjani le Jeu 13 Mai 2010, 12:13, édité 3 fois
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Mim
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MessageSujet: Re: Epreuve de casablanca numéro 3 !   Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 EmptyJeu 13 Mai 2010, 12:01

Blems en latex !
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noirouge
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MessageSujet: Re: Epreuve de casablanca numéro 3 !   Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 EmptyJeu 13 Mai 2010, 12:08

pour le premier exercice juste une remarque, a b et c sont des entiers relatifs ou des réels ou bien des réels positifs????
il faut préciser où doit on résoudre cette équation là!


Dernière édition par noirouge le Jeu 13 Mai 2010, 19:15, édité 2 fois
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Epreuve de casablanca numéro 3 !   Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 EmptyJeu 13 Mai 2010, 12:14

noirouge a écrit:
M.Marjani a écrit:
Pour cinqiéme:

On sait que:
OM+OE>=ME et: OM+OG>=MG et: OM+OF>=MF
Puisque: OE=OG=OF [le cercle entoure le triangle]
Donc: 1/(OM+OE)+1/(OM+OE)+1/(OM+OE)=<1/ME+1/MG+1/MF
=> 3/(OM+OE)=<1/ME+1/MG+1/MF
=> 1/ME+1/MG+1/MF-3/OE>=3/OM
On sait que: 3/OE >=0
D'ou: 1/ME+1/MG+1/MF>=3/OM

CQFD.
tu as bien fait avec la correction(enfin c'etait le 1 qui m'as troublé et ainsi j'ai préféré de ne pas continuer la lecture de ta solution),,mais ça reste faux !
voilà tu viens de démontrer que :
Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 Gif
crois tu que :
Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 Gif?????
la réponse c'est non!
en tout cas cette méthode n'aboutira à rien puisque ce que tu as démontré est plus faible que ce qu'on veut démontrer en effet:
Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 Gif
amicalement Wink

Faute d'innatention, on attend votre réponse pour ce exercise donc Mr anouar Very Happy
Amicalement.
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noirouge
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MessageSujet: Re: Epreuve de casablanca numéro 3 !   Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 EmptyJeu 13 Mai 2010, 12:22

ok je vais chercher pour cet exo(je ne suis pas vraiment un fan de la géométrie) mr Marjani...encore une remarque mr Marjani pour ta solution du premier exercice: ton raisonnement est encore une fois faux;remarquer que a=b=c=-2 est une solution Or -2 n'appartient pas à ]-1,0[
je crois qu'il faut plutôt résoudre l'équation dans IR+ ou IR-,en effet l'équation est équivalente à:
(b+2)²+(c+2)²+(c+2)²+4(a²+b²+c²-ab-bc-ca)=0
alors s'il s'agit de réels positifs on sait que a²+b²+c²-ab-bc-ca>=0
et que (b+2)²+(c+2)²+(c+2)²>0
alors (b+2)²+(c+2)²+(c+2)²+4(a²+b²+c²-ab-bc-ca)>0ce qui est absurde
s'il s'agit de réels négatifs on a donc :a²+b²+c²-ab-bc-ca>=0
et que (b+2)²+(c+2)²+(c+2)²>=0 alors (b+2)²+(c+2)²+(c+2)²+4(a²+b²+c²-ab-bc-ca)=0>=0 avec égalité si et seulement si a=b=c=-2 d'où la solution
le problème qui s'impose ici c'est lorsque a b et c dont de diffèrent signes
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Epreuve de casablanca numéro 3 !   Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 EmptyJeu 13 Mai 2010, 12:48

noirouge a écrit:
ok je vais chercher pour cet exo(je ne suis pas vraiment un fan de la géométrie) mr Marjani...encore une remarque mr Marjani pour ta solution du premier exercice: ton raisonnement est encore une fois faux;remarquer que a=b=c=-2 est une solution Or -2 n'appartient pas à ]-1,0[
je crois qu'il faut plutôt résoudre l'équation dans IR+ ou IR-,en effet l'équation est équivalente à:
(b+2)²+(c+2)²+(c+2)²+4(a²+b²+c²-ab-bc-ca)=0
alors s'il s'agit de réels positifs on sait que a²+b²+c²-ab-bc-ca>=0
et que (b+2)²+(c+2)²+(c+2)²>0
alors (b+2)²+(c+2)²+(c+2)²+4(a²+b²+c²-ab-bc-ca)>0ce qui est absurde
s'il s'agit de réels négatifs on a donc :a²+b²+c²-ab-bc-ca>=0
et que (b+2)²+(c+2)²+(c+2)²>=0 alors (b+2)²+(c+2)²+(c+2)²+4(a²+b²+c²-ab-bc-ca)=0>=0 avec égalité si et seulement si a=b=c=-2 d'où la solution
le problème qui s'impose ici c'est lorsque a b et c dont de diffèrent signes

C'est bien donc, et moi je dis que c'est impossible d'étre: (a,b,c)>=0 d'aprés mon systéme. D'ou (a,b,c) ont un seul signe qui est négative.
Mias pourquoi cherchons le signe de (a,b,c) ?? la question est de déterminer un seul triple n'est ce pas?
J'insicte que ce n'est pas faux ce que j'ai dis Mr Anouar Very Happy
Car: il existe un triple qui est sur ]-1,0[
CQFD.
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noirouge
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MessageSujet: Re: Epreuve de casablanca numéro 3 !   Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 EmptyJeu 13 Mai 2010, 12:54

non mr Marjani il n'existe pas de triplet sur ]-1,0[ (il s'agit donc de réels négatifs) car la seule solution en IR- est le triplet (-2,-2,-2)
je l'ai déja démontré !
(b+2)²+(c+2)²+(a+2)²+4(a²+b²+c²-ab-bc-ca)=0<=>a=b=c=-2
tu comprends mieux maintenant?
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Mlle Betty
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MessageSujet: Re: Epreuve de casablanca numéro 3 !   Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 EmptyJeu 13 Mai 2010, 13:01

Noirouge je croix que ta solution est juste car on a questionné un gars Science Mathh qui nous a proposéé la meme démonstration !!
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M.Marjani
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M.Marjani


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MessageSujet: Re: Epreuve de casablanca numéro 3 !   Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 EmptyJeu 13 Mai 2010, 13:38

noirouge a écrit:
non mr Marjani il n'existe pas de triplet sur ]-1,0[ (il s'agit donc de réels négatifs) car la seule solution en IR- est le triplet (-2,-2,-2)
je l'ai déja démontré !
(b+2)²+(c+2)²+(a+2)²+4(a²+b²+c²-ab-bc-ca)=0<=>a=b=c=-2
tu comprends mieux maintenant?

Okey, Bien joué.
Pour le dérnier je veux dire quelques inigalités qui peuvent aider:
ME+MF+MG=<3OM <=> 1/3*(1/ME+1/MF+1/MG)>=1/(ME+MF+MG)

Bonne chance.
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noirouge
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MessageSujet: Re: Epreuve de casablanca numéro 3 !   Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 EmptyJeu 13 Mai 2010, 13:39

veuillez relire mes interventions!
s'il s'agit des réels positifs S=l'ensemble vide .
s'il s'agit de réels négatifs S={(-2,-2,-2)}
s'il s'agit d'entiers relatifs S={(-2,-2,-2)}

c'est pour cela que je vous demande de lire bien l'énoncé de l'exercice pour déterminer la nature de a b et c(des réels ou bien des entiers ou encore des réels positifs ou bien encore de rationnels!!!!!)


Dernière édition par noirouge le Jeu 13 Mai 2010, 19:14, édité 1 fois
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Mlle Betty
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MessageSujet: Re: Epreuve de casablanca numéro 3 !   Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 EmptyJeu 13 Mai 2010, 13:53

NOIRouge : voilà l'ennoncé!:: précisez les nombres réels a .b.c qui donnent:
5(a²+b²+c²)+4(a+b+b)=4(ab+ac+bc)-12
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Mlle Betty
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MessageSujet: Re: Epreuve de casablanca numéro 3 !   Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 EmptyJeu 13 Mai 2010, 13:56

donc la solution sera dans R+ .L4ENSEMBLE VITE
et dans R- ."réels négatifs" S={(-2,-2,-2)} N'EST CE PAS !
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noirouge
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MessageSujet: Re: Epreuve de casablanca numéro 3 !   Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 EmptyJeu 13 Mai 2010, 14:07

absolument!
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nmo
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MessageSujet: Re: Epreuve de casablanca numéro 3 !   Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 EmptyJeu 13 Mai 2010, 17:42

Mlle Betty a écrit:
NOIRouge : voilà l'ennoncé!:: précisez les nombres réels a .b.c qui donnent:
5(a²+b²+c²)+4(a+b+b)=4(ab+ac+bc)-12
On a 5(a²+b²+c²)+4(a+b+b)=4(ab+ac+bc)-12.
Donc 5(a²+b²+c²)+4(a+b+b)-4(ab+ac+bc)+12=0.
Donc 5a²+5b²+5c²+4a+4b+4c-4ab-4ac-4bc+12=0.
Donc 2a²-4ab+2b²+2b²-4bc+2c²+2c²-4ac+2a²+a²+b²+c²+4a+4b+4c+12=0.
Donc 2(a²-2ab+b²)+2(b²-2bc+c²)+2(c²-2ac+a²)+a²+b²+c²+4a+4b+4c+4+4+4=0.
Donc 2(a-b)²+2(b-c)²+2(c-a)²+a²+4a+4+b²+4b+4+c²+4c+4=0.
Donc 2(a-b)²+2(b-c)²+2(c-a)²+(a+2)²+(b+2)²+(c+2)²=0.
Donc 2(a-b)²=0 et 2(b-c)²=0 et 2(c-a)²=0 et (a+2)²=0 et (b+2)²=0 et (c+2)²=0.
Donc (a-b)²=0 et (b-c)²=0 et (c-a)²=0 et a+2=0 et b+2=0 et c+2=0.
Donc a-b=0 et b-c=0 et c-a=0 et a=-2 et b=-2 et c=-2.
Donc a=b et b=c et c=a et a=b=c=-2.
Ainsi (-2,-2,-2) est le seul à vérifier les conditions.
Sauf erreur.
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nmo
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MessageSujet: Re: Epreuve de casablanca numéro 3 !   Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 EmptyJeu 13 Mai 2010, 18:53

Le dernier exercice est difficile.
Voici mon essai:
On a (ME+MF+MG)(1/ME+1/MF+1/MG)>=9.
D'après l'inégalité arithmético-géimétrique.
Donc (1/ME+1/MF+1/MG)>=9/(ME+MF+MG).
On a le triangle EFG est équilatéral.
Donc EF=EG=FG.
On a les points EFG appartiennent au cercle de centre O.
Donc OF=OG=OE.
Il suffit de démontrer que 9/(ME+MF+MG)>=3/OM.
Donc 3/(ME+MF+MG)>=1/OM.
Donc 3OM>=ME+MF+MG.
Donc 3(OE+EM)>=ME+MF+MG.
Donc 3OE+3EM>=ME+MF+MG.
Donc 2EM+3OE>=MF+MG.==>(1)
On a OF=OG et EF=EG.
Donc (OE) est la médiatrice de [FG].
Et puisque M est un point de ce médiatrice.
Il vient que MF=MG.
Et ainsi 1 devient 2EM+3OE>=MF+MF.
Donc il faut démontrer que 2EM+3OE>=2MF.==>(2)
On a d'après l'inégalité trigonométrique ME+EF>=MF.
Donc 2ME+2EF>=2MF.
Afin de démontrer 2, il faut que 2EM+3OE>=2ME+2EF.
Donc il suffit en tout de démontrer que 3OE>=2EF.==>(3)
D'après la loi des sinus.
Considérons le triangle OEF:
On a OE/sin(EFO)=EF/sin(EOF).
Soit K le point d'intersection de (EO) et (FG).
On a EKF=90°. (angle)
Et on a EFK=60°. (angle)
La somme des côté d'un triangle vaut 180°.
Donc EKF+EFK+FEK=180°. (angles)
Donc 90°+60°+FEO=180°. (angles)
Donc FEO=30°. (angle)
Et ainsi EFO=30°. (angle)
Et par conséquant FOE=120°. (angle)
On a OE/sin(EFO)=EF/sin(EOF).
Donc OE/sin(30°)=EF/sin(120°).
Donc OE/(1/2)=EF/(V3/2).
Donc 2OE=2EF/V3.
Ainsi 2V3OE=2EF.
On a d'après 3, 3OE>=2EF.
Donc 3OE>=2V3OE.
Donc 3>=2V3.
Ce qui est juste.
Car 9>=8.
Et V9>=V8.
Donc 3>=2V3.
Ce qui met fin à la démonstration.
Sauf erreur.
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M.Marjani
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M.Marjani


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MessageSujet: Re: Epreuve de casablanca numéro 3 !   Epreuve de casablanca numéro 3 ! - Page 2 EmptyJeu 13 Mai 2010, 20:14

nmo a écrit:
Le dernier exercice est difficile.
Voici mon essai:
On a (ME+MF+MG)(1/ME+1/MF+1/MG)>=9.
D'après l'inégalité arithmético-géimétrique.
Donc (1/ME+1/MF+1/MG)>=9/(ME+MF+MG).
On a le triangle EFG est équilatéral.
Donc EF=EG=FG.
On a les points EFG appartiennent au cercle de centre O.
Donc OF=OG=OE.
Il suffit de démontrer que 9/(ME+MF+MG)>=3/OM.
Donc 3/(ME+MF+MG)>=1/OM.
Donc 3OM>=ME+MF+MG.
Donc 3(OE+EM)>=ME+MF+MG.
Donc 3OE+3EM>=ME+MF+MG.
Donc 2EM+3OE>=MF+MG.==>(1)
On a OF=OG et EF=EG.
Donc (OE) est la médiatrice de [FG].
Et puisque M est un point de ce médiatrice.
Il vient que MF=MG.
Et ainsi 1 devient 2EM+3OE>=MF+MF.
Donc il faut démontrer que 2EM+3OE>=2MF.==>(2)
On a d'après l'inégalité trigonométrique ME+EF>=MF.
Donc 2ME+2EF>=2MF.
Afin de démontrer 2, il faut que 2EM+3OE>=2ME+2EF.
Donc il suffit en tout de démontrer que 3OE>=2EF.==>(3)
D'après la loi des sinus.
Considérons le triangle OEF:
On a OE/sin(EFO)=EF/sin(EOF).
Soit K le point d'intersection de (EO) et (FG).
On a EKF=90°. (angle)
Et on a EFK=60°. (angle)
La somme des côté d'un triangle vaut 180°.
Donc EKF+EFK+FEK=180°. (angles)
Donc 90°+60°+FEO=180°. (angles)
Donc FEO=30°. (angle)
Et ainsi EFO=30°. (angle)
Et par conséquant FOE=120°. (angle)
On a OE/sin(EFO)=EF/sin(EOF).
Donc OE/sin(30°)=EF/sin(120°).
Donc OE/(1/2)=EF/(V3/2).
Donc 2OE=2EF/V3.
Ainsi 2V3OE=2EF.
On a d'après 3, 3OE>=2EF.
Donc 3OE>=2V3OE.
Donc 3>=2V3.
Ce qui est juste.
Car 9>=8.
Et V9>=V8.
Donc 3>=2V3.
Ce qui met fin à la démonstration.
Sauf erreur.

Belle methode, malheureusement je ne peux pas lire tout car c'est trop long.
Mais il faut faire attention, car: AM-GM , GM, ou bien AM sont interdites aux olymps de T.C Very Happy
Bonne courage&chance.
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Epreuve de casablanca numéro 3 !
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