EXO Arithmétique

Montrer Que P(n) N'est pas premier

1) n^4 - 20n² + 4 ......... (n) de Z

2) 1/4 [ n^3 + (n+2)^3 ] ........ ( n SUp ou Egal à 2 ) / ( n ) de IN

3) n^4 + 4^n ........... ( n SUp ou Egal à 2 ) / ( n ) de IN

4) a^4 + 4b^4 ......... ( a et b SUp ou Egal à 2 ) / (a ; b ) de IN²

Pour la premiere et la deuxieme c'est Simple mais la 3eme et 4eme Lui faut un peut de temps

Pour le premier:
On a P(n)=n^4-20n^2+4.
Donc P(n)=n^4-4n^2+4-16n^2.
Donc P(n)=(n^2-2)^2-16n^2.
Donc P(n)=(n^2-2)^2-(4n)^2.
Donc P(n)=(n^2-2-4n)(n^2-2+4n).
Donc P(n) n'est pas premier car il admet au moins deux diviseurs.

Pour le quatrième:
On a P(n)=a^4+4b^4.
Donc P(n)=(a^2)^2+(2b^2)^2+2*a^2*2b^2-2*a^2*2b^2.
Donc P(n)=(a^2+2b^2)^2-4a^2b^2.
Donc P(n)=(a^2+2b^2)^2-(2ab)^2.
Donc P(n)=(a^2+2b^2-2ab)(a^2+2b^2+2ab).
Donc P(n) n'est pas premier car il admet au moins deux diviseurs.

We tout a fait daccord pour la 1ere et 4eme mais avec une autre methode

exo 2 :
p(n)=1/4[(n+n+2)(n²-n²-2n+4n+4+n²)]
p(n)= 1/2[(n+1)(n(n+2)+4)]
comme n(n+2) pair alors
p(n)=1/2[2(k+2)(n+1)]=(n+1).k'
C.Q.F.D