fmsi
Féru
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Date d'inscription : 28/11/2009
 | | Sujet: exercice Sam 22 Mai 2010, 23:52 | |
| a.b et c des nombres reels strictement positifs.montrez que:
b²/a+a²/c+c²/b>=a+b+c | |
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master
Maître
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Age : 31
Localisation : Morocco-Méknés - tata
Date d'inscription : 10/01/2010
| | Sujet: Re: exercice Dim 23 Mai 2010, 00:03 | |
| simple , supposons par symetrie de role !
a>=b>=c
donc aprés le reordonement on deduit
b²/a + a²/c + c²/b >= b²/b + a²/a + c²/c = a+b+c
^^!!! | |
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M.Marjani
Expert sup
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Date d'inscription : 05/03/2010
| | Sujet: Re: exercice Dim 23 Mai 2010, 00:13 | |
| Supposons: a>=b>=c
b²/a+a²/c+c²/b>=a²/a+a²/c+b²/b=a+b+a²/c
On a: a>=c <=> a²>=c² <=> a²/c>=c
Donc: b²/a+a²/c+c²/b>=a+b+c
CQFD. | |
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MohE
Expert grade2
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Localisation : Waterloo, Canada
Date d'inscription : 17/05/2009
| | Sujet: Re: exercice Dim 23 Mai 2010, 00:23 | |
| Bonsoir!
L'inégalité proposée n'est pas symetrique mais plutôt cyclique, c'est pourquoi vous ne pouvez pas supposer que a>=b>=c, sinon je vous propose deux solutions:
Solution 1:
Cauchy-Schwarz: (b²/a+a²/c+c/b²)(a+b+c)>=(a+b+c)²
d'ou ...
Solution 2:
D'après Am-Gm: b²/a + a>=2b; a²/c + c>=2a et c²/b + b>=2c, on sommant on trouve ...
avec égalité si et seulement si a=b=c. | |
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Mlle Betty
Maître
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Age : 30
Localisation : Casa ; Origine : Oujda-Ahfir
Date d'inscription : 08/05/2010
| | Sujet: Re: exercice Dim 23 Mai 2010, 12:44 | |
| On utilise l'IAG On sait que : (a-b)²>=0 donc a²+b²>=2ab on divise le tt par a : a+b²/a>=2b -1- * (c-a)²>=0 donc c²+a²>=2ac on divise le tt par c : c+a²/c>=2a -2- * (b-c)²>=0 donc b²+c²>=2bc on divise le tt par b : b+c²/b>=2c -3- on sommant (1);2() et (3) on aura a+b²/a+c+a²/c+b+c²/b>=2b+2a+2c alors : b²/a+a²/c+c²/b>=2b-b+2a-a+2c-c d'où on déduit que : b²/a+a²/c+c²/b>=b+a+c CQFD  | |
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