Exercices:

Je vous présente ces deux exercices:
1/ Etablissez l'équivalence entre les phrases suivantes:
*ABCD est un quadrilatère dont les diagonales sont orthogonaux.
*AB²+CD²=AD²+BC².
2/ Prouvez que sin(A)+sin(B)+sin(C)=4Sp/abc.
Tel que A, B et C sont les mesures des angles d'un triangle, a, b et c sont ses côtés, S sa surface, et p son demi-périmètre.
Bonne chance.

Salut!

Pour le 2eme:

*Soient: A, B et C sont les mesures des angles d'un triangle, a, b et c sont ses côtés, S sa surface, et p son demi-périmètre

*Démontrons que: sin(A)+sin(B)+sin(C)=4Sp/abc
on sait que :
S= 1/2 *AB*AC*sin(A)
Donc: Sin (A)=2*S /AB*AC

Et ainsi:
sin(A)+sin(B)+sin (C) = (2S/AB*AC) + (2S/AB*BC)+ 2S/AC*BC)

= 2S(AB+AC+BC) / (AB*AC*BC)
= 2S * 2p / abc
= 4Sp / abc

Et enfin:
sin(A)+sin(B)+sin(C)=4Sp/abc

CQFD.
Et puis, pour le 1er, je n'ai pas vraiment compris ce qui est demandé... "Etablissez l'équivalence entre les phrases suivantes" c-à-d qu'il faut trouver pour quel cas ces phrases sont équivalentes??

najwa44 a écrit:

Et puis, pour le 1er, je n'ai pas vraiment compris ce qui est demandé... "Etablissez l'équivalence entre les phrases suivantes" c-à-d qu'il faut trouver pour quel cas ces phrases sont équivalentes??

Etablisser l'équivalence entre deux phrases, c'est dire la relation entre ces deux dérniéres, sachant quand peut avoir deux, ou bien une seule relation entre chaque deux phrases.
Exemples:
M <=> H: 2x+1=2 <=> x=1/2. (les deux senses sont justes)
M => H: ABCD un carré => ses angles égales à Pi/2. ( le sense inverse n'est pas juste)

-------------------------------------------------------------------------------------

1ér Solution:

Application directe de ce qui est dans çette page:
https://mathsmaroc.jeun.fr/seconde-tronc-commun-f6/exercices-d-olympiade-t14310-690.htm

Pour mieux éclairer:
* On a: AB²=OA²+OB², CD²=OC²+OD²
AB²+CD²=OA²+OD²+OB²+OC²=AD²+BC²

* Réciproquement, en partir au sens inverse on trouve que çela est juste.

*ABCD est un quadrilatère dont les diagonales sont orthogonaux. <=> *AB²+CD²=AD²+BC².

2éme Solution:

Sachant que: p=(a+b+c)/2, S=(ac*Sin(B))/2
On aura Sin(A)+Sin(B)+Sin(C)=[(a+b+c)*ac*Sin(B)]/abc=[(a+b+c)*Sin(B)]/b. (1)
De la méme façon elle égale à: [(a+b+c)*Sin(C)]/c (2), [(a+b+c)*Sin(A)]/a (3)
De (1),(2) et (3) il s'ensuit que: Sin(B)/b=Sin(C)/c=Sin(A)/a, il en résulte cet résultat qui est bien connu sous le nom de la loi de sinus.

Merçi.

Merci beaucoup M.Marjani. Tes réponses sont parfaites (ou presque )

Et puis, j'aimerais dire que cette "équivalence entre deux phrases" n'existe pas dans les leçons du tronc commun...enfin...j'en ai jamais entendu parler.

En tout cas je remercie nmo aussi pour ces exercices enrichissant

najwa44 a écrit:

Et puis, j'aimerais dire que cette "équivalence entre deux phrases" n'existe pas dans les leçons du tronc commun...enfin...j'en ai jamais entendu parler.

Si, nos profs les jettent dans le secret en réspectant notre niveau (TC), sans présenter de grands choses. (Exemple: يكافئ، يستلزم).
Enfin, c'est la premiére leçon du programme SM. Et de ce jour là, c'est obligatoire d'intégrer ses signes dans les solutions des EX.

M.Marjani a écrit:

najwa44 a écrit:

Et puis, pour le 1er, je n'ai pas vraiment compris ce qui est demandé... "Etablissez l'équivalence entre les phrases suivantes" c-à-d qu'il faut trouver pour quel cas ces phrases sont équivalentes??

Etablisser l'équivalence entre deux phrases, c'est dire la relation entre ces deux dérniéres, sachant quand peut avoir deux, ou bien une seule relation entre chaque deux phrases.
Exemples:
M <=> H: 2x+1=2 <=> x=1/2. (les deux senses sont justes)
M => H: ABCD un carré => ses angles égales à Pi/2. ( le sense inverse n'est pas juste)

-------------------------------------------------------------------------------------

1ér Solution:

Application directe de ce qui est dans çette page:
https://mathsmaroc.jeun.fr/seconde-tronc-commun-f6/exercices-d-olympiade-t14310-690.htm

Pour mieux éclairer:
* On a: AB²=OA²+OB², CD²=OC²+OD²
AB²+CD²=OA²+OD²+OB²+OC²=AD²+BC²

* Réciproquement, en partir au sens inverse on trouve que çela est juste.

*ABCD est un quadrilatère dont les diagonales sont orthogonaux. <=> *AB²+CD²=AD²+BC².

2éme Solution:

Sachant que: p=(a+b+c)/2, S=(ac*Sin(B))/2
On aura Sin(A)+Sin(B)+Sin(C)=[(a+b+c)*ac*Sin(B)]/abc=[(a+b+c)*Sin(B)]/b. (1)
De la méme façon elle égale à: [(a+b+c)*Sin(C)]/c (2), [(a+b+c)*Sin(A)]/a (3)
De (1),(2) et (3) il s'ensuit que: Sin(B)/b=Sin(C)/c=Sin(A)/a, il en résulte cet résultat qui est bien connu sous le nom de la loi de sinus.

Merçi.

Il faut le prouver.
P.S: les autres solutions sont justes.

nmo a écrit:

Il faut le prouver.

Utilisez le produit scalaire, soit en partirant de: (vec)OA*vec(OB), et trouver que sa valeur est 0, qui implique que ses diagonales sont perpondiculaires.. =))

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

Il faut le prouver.

Utilisez le produit scalaire, soit en partirant de: (vec)OA*vec(OB), et trouver que sa valeur est 0, qui implique que ses diagonales sont perpondiculaires.. =))

Personnellement, j'ai deux solutions différentes à poster plus tard.
J'attends que tu postes ta solution en utilisant le produit scalaire.

La première methode:
On utilise la relation d'Alkashi:
Dans le triangle AOD, on a AD²=OA²+OD²-2OA.OD.cos(AOD).
De même AB²=AO²+OB²-2AO.OB.cos(AOB).
Et BC²=BO²+OC²-2BO.OC.cos(BOC).
Et CD²=CO²+OD²-2CO.OD.cos(COD).
On a AB²+CD²=AD²+BC².
Donc AO²+OB²-2AO.OB.cos(AOB)+CO²+OD²-2CO.OD.cos(COD)=OA²+OD²-2OA.OD.cos(AOD)+BO²+OC²-2BO.OC.cos(BOC).
Donc -2AO.OB.cos(AOB)-2CO.OD.cos(COD)=-2OA.OD.cos(AOD)-2BO.OC.cos(BOC).
Donc AO.OB.cos(AOB)+CO.OD.cos(COD)=OA.OD.cos(AOD)+BO.OC.cos(BOC).
Or, on a AOB=COD et BOC=AOD. (angles)
Donc AO.OB.cos(AOB)+CO.OD.cos(AOB)=OA.OD.cos(AOD)+BO.OC.cos(AOD).==>(*)
De plus, on a AOD=180°-AOB.
Donc cos(AOD)=cos(180°-AOB).
Donc cos(AOD)=-cos(AOB).
Ainsi * devient AO.OB.cos(AOB)+CO.OD.cos(AOB)=-OA.OD.cos(AOB)-BO.OC.cos(AOB).
Donc AO.OB.cos(AOB)+CO.OD.cos(AOB)+OA.OD.cos(AOB)+BO.OC.cos(AOB)=0.
Donc cos(AOB)[AO.OB+CO.OD+OA.OD+BO.OC]=0.
Comme AO.OB+CO.OD+OA.OD+BO.OC est différent de 0, cos(AOB)=90°.
Et par conséquent AO est perpendiculaire à BO.
Soit AC est perpendiculaire à BD.
Donc ABCD est un quadrilatère dont les diagonales sont orthogonaux.
J'ajoute que AO.OB+CO.OD+OA.OD+BO.OC=OA*(OB+OD)+OC*(OB+OD).
Donc AO.OB+CO.OD+OA.OD+BO.OC=OA*BD+OC*BD.
Donc AO.OB+CO.OD+OA.OD+BO.OC=(OA+OC)*BD.
Donc AO.OB+CO.OD+OA.OD+BO.OC=AC*BD.
CQFD.

.

Code:

pour la 2 exo
nous savont le lois de sinus  a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

un autre relation  S=abc/4R   
d'apres le lois de sinus  a+b+c/sinA sinB sinC  = 2R
donc  a+b+c/2R=sinA sinB sinC
on a aussi  2R=abc/2S    alors    p/2R =p2S/abc

donc    sinA sinB sinC= 2pS/abc

sin(A)+sin(B)+sin(C)=4Sp/abc
ce n'est pas 4S 2S seulement

La loi des sinus stipule que :
a/sinA = b/sinB = c/sinC = abc/2S
Donc (a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) = abc/2S
La conclusion est simple sachant que a+b+c=2p

nmo a écrit:

1/ Etablissez l'équivalence entre les phrases suivantes:
*ABCD est un quadrilatère dont les diagonales sont orthogonaux.
*AB²+CD²=AD²+BC².

C'est très utile, en fait.