De retour... ;)

Voici une Jolie tiré de Mathlinks

soit a,b,c>0 tq a+b+c=1 Montrez que

Bonjour;
(a,b,c)>0 et a+b+c=1 => (a,b,c)£]0,1[.
On a: (V(a+ (b-c)²/4) + Vb + Vc)² = a+b+c+ (b-c)²/4 + 2V(b(a+ (b-c)²/4)) + 2V(bc) + 2V(c(a+ (b-c)²/4))
AM-GM: (1/3)(a+b+c)>=(abc)^{1/3} <=> abc=<1/27 (1)
Cauchy shwartz: 3(a²+b²+c²)>=(a+b+c)² <=> a²+b²+c²>=1/3 => 2(ab+bc+ac)=<2/3 => ab+bc+ac=a(b+c)+bc=<1/3 (2)
IAG: a(b+c)>=2aV(bc) Donc: bc=<1/3 -2aV(bc)
D'aprés (1) abc=<1/27 et puisque: a,b,c £ ]0,1[ et a+b+c=1 donc 3bc>=V(bc) <=> 3abc=<aV(bc)
=> aV(bc)>=3/27 => 2aVbc>=6/27
Et donc: bc=<1/3-6/27=1/9 => V(bc)=<V(1/9)=1/3 (A) de méme ab=<1/3 (B).
D'autre part on a: a²/3000 +b²/3000 +c²/3000 +bc/1500 +ac/1500 +ab/1500 +bc/4 -b²-c²>=0 [car: b²/3000+c²/3000>b²+c² et: a,b,c £ ]0,1[ ]
D'ou: (b-c)²=<(a+b+c)²/3000=1/(3*10^3) <=> (b-c)²/4=<1/(12*10^3) (C) (On peut la donner la valeur 1/(4*10^{+00}) )
a+ (b-c)²/4=< 1/(12*10^3)+a <=> b(a+ (b-c)²/4)=<(1/(12*10^3) )*b+ab<1/(4*10^{+00})+1/9
Donc: V(b(a+ (b-c)²/4))=<V(1/(4*10^{+00})+1/9), De méme: V(c(a+ (b-c)²/4))=<V(1/(4*10^{+00})+1/9) (F)
De (A) et (C) et (F) On résulte que: a+b+c+ (b-c)²/4 + 2V(b(a+ (b-c)²/4)) + 2V(bc) + 2V(c(a+ (b-c)²/4))=<1+6*V(1/(4*10^{+00})+1/9)+1/(4*10^{+00})=<3
D'ou: (V(a+ (b-c)²/4) + Vb + Vc)²=<3 <=> V(a+ (b-c)²/4) + Vb + Vc=<V3

Merci.

Désolé mais tu commis une erreur dans la première ligne car (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca) é pas a²+b²+c²+ab+bc+ca

Abdek_M a écrit:

Désolé mais tu commis une erreur dans la première ligne car (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca) é pas a²+b²+c²+ab+bc+ca

Désolé, c'est réctifier maintenant.

M.Marjani a écrit:

Bonjour;
(a,b,c)>0 et a+b+c=1 => (a,b,c)£]0,1[.
On a: (V(a+ (b-c)²/4) + Vb + Vc)² = a+b+c+ (b-c)²/4 + 2V(b(a+ (b-c)²/4)) + 2V(bc) + 2V(c(a+ (b-c)²/4))
AM-GM: (1/3)(a+b+c)>=(abc)^{1/3} <=> abc=<1/27 (1)
Cauchy shwartz: 3(a²+b²+c²)>=(a+b+c)² <=> a²+b²+c²>=1/3 => 2(ab+bc+ac)=<2/3 => ab+bc+ac=a(b+c)+bc=<1/3 (2)
IAG: a(b+c)>=2aV(bc) Donc: bc=<1/3 -2aV(bc)
D'aprés (1) abc=<1/27 et puisque: a,b,c £ ]0,1[ et a+b+c=1 donc 3bc>=V(bc) <=> 3abc=<aV(bc)
=> aV(bc)>=3/27 => 2aVbc>=6/27
Et donc: bc=<1/3-6/27=1/9 => V(bc)=<V(1/9)=1/3 (A) de méme ab=<1/3 (B).
D'autre part on a: a²/3000 +b²/3000 +c²/3000 +bc/1500 +ac/1500 +ab/1500 +bc/4 -b²-c²>=0 [car: b²/3000+c²/3000>b²+c² et: a,b,c £ ]0,1[ ]
D'ou: (b-c)²=<(a+b+c)²/3000=1/(3*10^3) <=> (b-c)²/4=<1/(12*10^3) (C) (On peut la donner la valeur 1/(4*10^{+00}) )
a+ (b-c)²/4=< 1/(12*10^3)+a <=> b(a+ (b-c)²/4)=<(1/(12*10^3) )*b+ab<1/(4*10^{+00})+1/9
Donc: V(b(a+ (b-c)²/4))=<V(1/(4*10^{+00})+1/9), De méme: V(c(a+ (b-c)²/4))=<V(1/(4*10^{+00})+1/9) (F)
De (A) et (C) et (F) On résulte que: a+b+c+ (b-c)²/4 + 2V(b(a+ (b-c)²/4)) + 2V(bc) + 2V(c(a+ (b-c)²/4))=<1+6*V(1/(4*10^{+00})+1/9)+1/(4*10^{+00})=<3
D'ou: (V(a+ (b-c)²/4) + Vb + Vc)²=<3 <=> V(a+ (b-c)²/4) + Vb + Vc=<V3

Merci.

@ Marjani : l'inégalité bc <= 1/9 est fausse , prend b et c --> 1/2 et a --> 0

je vous propose cet indice

\sqrt(b) + \sqrt (c) <= \sqrt( 2 (b+c) -k(b-c)^2/(b+c) ) avec k=1/2

neutrino a écrit:

\sqrt(b) + \sqrt (c) <= \sqrt( 2 (b+c) -k(b-c)^2/(b+c) ) avec k=1/2

Est-elle vraie pour tout réel k ? Au premier essai, je suis bien venu à bout du cas . Qu'en est-il du cas ?

Dijkschneier a écrit:

neutrino a écrit:

\sqrt(b) + \sqrt (c) <= \sqrt( 2 (b+c) -k(b-c)^2/(b+c) ) avec k=1/2

Est-elle vraie pour tout réel k ? Au premier essai, je suis bien venu à bout du cas . Qu'en est-il du cas ?

k_max= 1/2 ( sauf erreur )

neutrino a écrit:

@ Marjani : l'inégalité bc <= 1/9 est fausse , prend b et c --> 1/2 et a --> 0

je vous propose cet indice

\sqrt(b) + \sqrt (c) <= \sqrt( 2 (b+c) -k(b-c)^2/(b+c) ) avec k=1/2

Les variables a,b,c étant strictes, votre contre exemple est faux. [de plus, a+b+c=1]
PS: ab+bc+ac =< 1/3, Max(bc)=Le cas d'égalité. ab=bc=ac=1/9.
Prenons ce que j'ai dis, ab*bc*ac=(abc)² =< (1/9)^{3} => abc =< 1/27.Qui est déja prouvé par AM-GM.

c= 0.5 - epsilon , b= 0.5- epsilon , a= 2 *epsilon , Prends epsilon tres petit par ex : 10^(-4)

Bonjour une autre fois
a+b+c=epilson(0.5-1+0.5-1+2)=epilson*1=epilson=10^{-4}.
Votre deuxiéme contre exemple est faux d'aprés .. car: a+b+c=1.

Désolé Marjani merci pour ton interet mé ta démonstration né pas juste et le contre-exapmle de neutrino est vrai en tt cas Jolie solution neutrino

Voici ma solution :
Par symétrie on suppose que
premièrement on prouve la lemme suivante :
Pour tous réels x,y,z on a :



Preuve :



En remplaçant x,y,z respectivement par
On trouve que :





On multiplie par 2 et on ajoute a+b+c+(b-c)²/4 pour avoir :



Donc il suffit de prouver que :


Ce qui est vrai parceque la fonction f(x)=x²-V2x est décroissante sur [0,1] .

(Sauf erreur .. )

Sylphaen a écrit:

Ce qui est vrai parceque la fonction f(x)=x²-V2x est décroissante sur [0,1] .

f'(x) = 2x-V2, qui change de signe quand x = V2/2

Merci, Sylphaen, pour cette précieuse inégalité que j'ignorais.
Ta méthode est bien astucieuse. En revanche, tu t'es trompé à la fin.
La fonction que tu as indiquée n'est pas décroissante sur [0,1].

Lol , j'ai pas fait attention au 2 ><
Je corrige pour la dernière étape !
Ce qui est vrai car b+c<1 et (Vb+Vc)<=V2(V(b+c))<V2

Bien. Je parlais d'une méthode astucieuse, mais la tienne est surtout "providentielle". Quel fil conducteur a pu vous mener à travers votre raisonnement ? Qui vous inspiré une démonstration pareille ?

Euh.. Je crois c'est la forme de l'inégo , Je connaissais déjà celle que j'ai utilisé , elles me paraissaient semblables ..j'ai essayé avec c'est tout ^^