Un exercice assez intéressant

voici un exercice qui m'a paru être assez intéressant, j'éspère qu'il vous plaira...
Pour combien d'entiers positifs n inférieurs ou égaux à 24, n! est il divisible par 1+2+3+...n ?

slt

Tous les nombres impairs qui sont inférieurs a 24.

et les nombres pairs (<24) qui vérifient la relation n!= 0[n+1] (l'oubli ^^ ou pas..)

sauf erreur ^^

non non c'est faux...8 et 14 vérifient bien les conditions...
essaie encore ^^

salam

remarque:
1+2+3+....+n = n(n+1)/2

n! divisible par n(n+1)/2 <===> 2.n! divisible par n(n+1)

<===> 2.(n-1)! divisible par (n+1)

............................

Si n+1 est premier il ne peut diviser 2.(n-1)! car:

il est plus grand que tous les facteurs de 2.(n-1)!

donc pour n+1 E{ 3,5,7,11,13,17,19,23}
------------------------

donc les valeurs acceptables sont :

exception n=1 ====> 2 divise 2.0!

n E {3,5,7,8,9,11,13,14,15,17,19,20,21,23,24}

.........................................

houssa a écrit:

salam

remarque:
1+2+3+....+n = n(n+1)/2

n! divisible par n(n+1)/2 <===> 2.n! divisible par n(n+1)

<===> 2.(n-1)! divisible par (n+1)

............................

Si n+1 est premier il ne peut diviser 2.(n-1)! car:

il est plus grand que tous les facteurs de 2.(n-1)!

donc pour n+1 E{ 3,5,7,11,13,17,19,23}
------------------------

donc les valeurs acceptables sont :

exception n=1 ====> 2 divise 2.0!

n E {3,5,7,8,9,11,13,14,15,17,19,20,21,23,24}

.........................................

Parfait Mr Houssa, c'est ce que je viens de remarquer.
* n!=n(n-1)!, Et 1+2+3+...+n=(1/2)n(n+1). On a donc n+1|2(n-1)!
* Puisque 2(n-1)!=2k, donc n+1=/ k' (k' premier, car n+1 ne dévise pas k'). Clair que 8,14,20,24 réalise cette condition là.
* 2(n-1)!=2k Et n+1|2(n-1)!, donc n+1=2k donc n=2k"+1 =/ 1
* n=0 est bien une solution, car 1|-1. Il y a 11+4+1=16 nombres compris entre 0 et 24 qui réalise l'énoncé.

"=/" veut dire (n'addmette pas)

Merçi.

salam

marjani

pour n=0

1+2+3+...+n c'est quoi ???
................................

houssa a écrit:

salam

marjani

pour n=0

1+2+3+...+n c'est quoi ???
................................

Si nous continuons avec: n+1|2(n-1)!, n=0 est bien une solution, c'est pour çela je veux une explication de votre honeur.
(J'ai vu que si n=0 => 1+2+3+...+n=(1/2)n(n+1)=0, mais il y a une contradiction la dessus).

salam

marjani

l'écriture : 1+2+3+....+n signifie la somme de 1 jusqu'à n

et par suite n >= 1.

donc la condition vient du départ.

.........................................................

salam :

n(n+1)/2 / n! <==> n+1 / 2(n-1)!
clairement 1 et 2 ne sont pas des solutions

donc si n+1 n'est pas premier n+1 = p.q tel que
p;q £ {2;3....;n-2} ( p;q # n-1 et n ) car n+1/n et n+1/n-1 £ IN

donc p / 2(n-1)! et q / 2(n-1)! donc n est solution .


si n+1 est premier donc n+1 ne divise pas 2(n-1)! .

donc les solutions sont n tel que n+1 n'est pas premier ...

Bravo tout le monde vous avez trouvé la solution!
chapeau a {}{}=l'infini et a Houssa et aussi a Hindou11.
Par contre Marjani 0 n est pas une solution car 1+2+3+...n n'est pas définie pour 0...

et moi donc, j'ai réctifié ma réponse ^^

Yasser.R a écrit:

Par contre Marjani 0 n est pas une solution car 1+2+3+...n n'est pas définie pour 0...

Ce n'est pas ça ce que j'ai voullu dire comme énigme
J'ai éclairé ce que voullai dire Mr Houssa qui a présenté la meilleur solution.
1+2+3+...n n'est pas définie pour 0, n'a aucun sens.. si tu prends n=0 la somme deviens (1/2)n(n+1)=0, il faut dire plutot 1+2+3+..+n>=1. Donc de la premiére pas dans la solution, il faut dire n#0

Dans ce, bonsoir.

M.Marjani a écrit:

Dans ce, bonsoir.

Le vocable consacré est plutôt "sur ce, bonsoir".
Gentiment.

M.Marjani, on est bien d'accord...
Bonne remarque Dijkscheiner...