Exercice tres interessant :D a y reflechir :D

Soit d(x) la distance de x de l'ensemble Z , ce qui est la plus petitedistance entre x et p de Z :
d(x)=min|x-p|
1) demontrer que pour tout x de R. 0<d(x)<1/2
2)demontre que d(x)=d(-x)
3)demontrer que la fonction d est periodique de periode 1
4)demontrer que : pour 0<x<1/2. d(x)=x
Pour 1/2<x<1. d(x)=1-x
5) etudier la continuite de D dans R
6) montrer que {d(nx) / n de N*} est fini si et seulment si x rationnel
pour x non-rationnel , m=d(x) , demontrer que. 0<m<1/2 et d(nx) = d(nm) , n de N*

1) d(x)=Min(x-[x], [x]+1-x)
=(1-|2x-2[x]-1|)/2 car Min(a,b)=(a+b-|a-b|)/2
=1/2-|x-[x]-1/2| ===> 0=<d(x)=<1/2

2) d(-x)=min|-x-p|=min|x+p|=d(x)

3) d(x+1)=min|x+1-p|=min|x-q|=d(x)

4) 0<x<1/2 ==> d(x)=1/2-|x-1/2|=x . 1/2<x<1 ==> d(x)=1/2-|x-1/2|=1-x

5) d continue sur ]0,1[ et d(0)=d(1)=0 ===> d continue sur R

6) si x dans R\Q

si 0<x<1/2 ==> 0<m=d(x)=x<1/2 ==> d(nx)=d(nm)
si 1/2<x<1 ==> 0<m=d(x)=1-x<1/2 ==> d(nx)=d(n(1-m))=d(nm) par 1-periodicite

si x est ailleurs ==> 0<x-[x]<1===> 0<m=d(x)=d(x-[x])<1/2
et d(nx)=d(n(x-[x]))=d(nd(x-[x]))=d(nm)