un exo trés intéressant sur la continuité

exo 64 page 42 :
f et g sont difini sur l'itervalle ouvert I et x_0 app à I , soit f une fonction bornée sur I et non continue sur x_0 et g est continue sur x_0 .
montrez que fg est continue sur x_0 si et seulement si g(x_0)=0

j'attend de belle demonstration de votre part ....^_^

On montre que :

g(x₀)=0 => f.g continue en x₀
Posons h=f.g pour x £ I

f est bornée dans I alors il existe un M>0 t.q pour tous x de I : |f(x)|≤M

et donc pour tous x de I on a : |f(x).g(x)|≤M.|g(x)| .
Puisque g est continue en x₀ on a :

D'où :

donc h est continue en x₀ .
Maintenant on montre que si h est continue en x₀ alors g(x₀)=0
Supposons que g(x₀)≠0 , puis les 2 fonction h et g sont continue en x₀ alors la fonction h/g est aussi continue en x₀ donc f est continue en x₀ ce qui est absurde ..