Inégalité

Problem 3, Test 5,National Moroccan Mathematical Olympiads, 2010.
Soit a,b,c>=0 des réels tels que a+1>=b+c, b+1>=c+a , c+1>=a+b. Prouver que: a²+b²+c²=< 2abc+1.

MohE a écrit:

Problem 3, Test 5,National Moroccan Mathematical Olympiads, 2010.
Soit a,b,c>=0 des réels tels que a+1>=b+c, b+1>=c+a , c+1>=a+b. Prouver que: a²+b²+c²=< 2abc+1.

Je poste ma solution durant l'épreuve
si
ou
ou
par exemple

et ce nombre est positif car

et

si et et
donc

ce qui est positif car

Belle Solution, après cette journée à l'eau, tu a encor de la force à résoudre un exos félicitation

Merci Shelock holmes ...mais pourais je savoir qui tu es ? tu eté aussi la ba hhhh

Devine

hhh il ne me reste plus de force pour deviner j'ai épuisé toute mes reserves looool

MohE a écrit:

Problem 3, Test 5,National Moroccan Mathematical Olympiads, 2010.
Soit a,b,c>=0 des réels tels que a+1>=b+c, b+1>=c+a , c+1>=a+b. Prouver que: a²+b²+c²=< 2abc+1.

On suppose que a+b+c >= 1,car sinon l'inégalité devient évidente.

Remarquer que l'inégalité est équivalente à : c(a-b)² =< (1-c)(1+c-a²-b²).Il est clair que a,b,c =< 1 et (1-c)² >= (a-b)²,

On en déduit que : c(a-b)² =< c(1-c)²,il suffit de prouver alors que c(1-c) =< 1+c-a²-b² <=> a²+b² =< 1+c²

Or,on a : c²+1 >= (a+b-1)² +1 = (a²+b²)+2(ab+1-a-b)=a²+b²+2(a-1)(b-1) >= a²+b² d'ou le résultat.