Triangle à surface maximale

Bien le Bonsoir tout le monde !

J'ai un petit exercice pour vous

Soit un triangle de périmètre P et de dimensions a, b et c.

a) Exprimer chacunes des dimensions a, b, c en fonction de P pour que le triangle couvre une surface maximale notée S .
b) Déduire la relation entre S et P .

Bonne chance

Pour un périmètre p donné, le triangle de périmètre p et de surface maximale est le triangle équilatéral. Ainsi, si a, b et c sont les longueurs de côtés de ce triangle, ce triangle a une surface maximale si et seulement si a = b = c = p/3.
De fait, en utilisant la formule de Héron pour le calcul d'aire :
S = sqrt(p/2(p/2 - a)(p/2 - b)(p/2 - c)) = sqrt(p/2(p/2 - p/3)(p/2 - p/3)(p/2 - p/3)) = sqrt(p^4/(2*6^3)) = p²/(12sqrt(3))

Dijkschneier a écrit:

Pour un périmètre p donné, le triangle de périmètre p et de surface maximale est le triangle équilatéral. Ainsi, si a, b et c sont les longueurs de côtés de ce triangle, ce triangle a une surface maximale si et seulement si a = b = c = p/3.
De fait, en utilisant la formule de Héron pour le calcul d'aire :
S = sqrt(p/2(p/2 - a)(p/2 - b)(p/2 - c)) = sqrt(p/2(p/2 - p/3)(p/2 - p/3)(p/2 - p/3)) = sqrt(p^4/(2*6^3)) = p²/(12sqrt(3))

nice job

sinon pour la surface tu pouvais utiliser la formule ce qui donnerait directement ton résultat trouvé .

salam
sherlock

pourquoi : S est max si et seulement si a=b=c ?????????

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Les théorèmes isopérimétriques sont la solution :
Article tiré de Wikipédia
"Si un polygone à n sommets possède une aire maximale pour un périmètre donné, ce polygone est régulier."

Donc pour un périmètre donné p, la surface maximale S est atteinte lorsque le triangle est régulier (à savoir équilatéral), donc a=b=c.

salam

oussama1305

merci pour l'indication

mais comme c'est mentionné : il s'agit bien de theoremes difficiles à démontrer.
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houssa a écrit:

salam

oussama1305

merci pour l'indication

mais comme c'est mentionné : il s'agit bien de theoremes difficiles à démontrer.
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Pour le cas particulier du triangle, ça ne l'est pas.
Cela découle de l'inégalité sqrt(3)p²/3 >= S avec égalité ssi a=b=c, où p et S désignent respectivement le périmètre et l'aire du triangle.
Par conséquent, puisque p est fixe, S est maximale ssi a=b=c.

Dijkschneier a écrit:

Pour le cas particulier du triangle, ça ne l'est pas.

En effet la démonstration est assez simple: