Systèmes

BJR!
Résoudre dans IR² les systèmes:
1-
y²=x^3 -3x²+2x
x²=y3-3y²+2y

2-
2x+xy=1+3v2
x²-2x+y²+2y=4

Bonjour Achraf Cava? Ghbarti ^^ :p

Probléme 1:

On remarque que 1 et 2 deux raçines évidente des deux equations, donc le systéme seras équivalent à:

y²=x(x-1)(x-2)>=0
{
x²=y(y-1)(y-2)>=0

* (0,0) Solution evidente au systéme. Et Si x=<0 donc x(x-1)(x-2)=<0 ==> Absurde.
* On déduit que x>=0 de méme y>=0. Puisque y²/x=(x-1)²-(x-1)>=0 et donc: x>=1, de méme y>=1.
* Si nous faisions la somme de x² et y² on aura vitement aprés simplification:
2(x+y)+xy-2=(x+y)²>=16 ce qui implique: (x+y-1)²=xy-1. Delta affirme que x+y=1
Ce résultat qui est absurde, Ou bien x=y.
* Alors x²=x(x-1)(x-2) => x=0 ou x=(x-1)(x-2) <=> x²-4x+2=0 ,
* x1 = 2-V2 ; x2=2+V2

S={(0,0) ; (2-V2,2-V2) ; (2+V2,2+V2)}

Probléme 2:

Methode1:

Le systéme du départ est équivalent à:

(x-1)²+(y+1)²=6
{
x(y+2)=1+3V2

La premiére équation est d'une cercle qui a pour rayon V6. Et reportant le plan à un repert orthonormé, donc on aura 4 solutions au maximum.

On peut déduire du deuxiéme équation que y=(-2x +3V2 +1)÷x et remplaçant ce résultat dans la premiére equation:

(x-1)²+((-2x +3V2 +1)÷x +1)²=6 <=> x^4-2x^3+2x^2-6V2x-2x+6V2+19-6x²=0

Qui a au moin deux solutions !

Methode 2:

Consiste à remarquer que la deuxiéme équation du dernier systéme est un " هذلول" qu'on peut déduire ses solutions qui couppent (Ox) et (Oy).

achraf_djy a écrit:

BJR!
Résoudre dans IR² les systèmes:
1-
y²=x^3 -3x²+2x
x²=y3-3y²+2y

On a .
Par différence des lignes, on obtient .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc ou .
Donc ou .
Donc ou .
Donc ou .
Considérons l'expression A, tel que .
Selon Caushy schwartz, .
En posons a=x+y, b=2-x, et c=2-y.
On trouve que .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc A ne s'annule point sur IR.
Donc est le cas qu'on considère.
Revenons à la première ligne du système, on a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc ou .
Considérons le trînome .
Qui a pour discriminent .
Donc .
Donc .
Ainsi, l'équation admet deux solutions: et .
Donc et .
Donc et .
Donc et .
On déduit que les solutions de l'équation sont , , et .
Donc les solutions du système proposé sont .
Sauf erreur.
P.S: la solution de M.Marjani est pâle-mêle exposé, même son résultat final est faux.

achraf_djy a écrit:

BJR!
Résoudre dans IR² les systèmes:
2-
2x+xy=1+3v2
x²-2x+y²+2y=4

On a .
Donc .
Donc .
Posons et .
Alors et .
Donc le système s'écrit .==>(*)
Donc .
Donc .
Donc .
Et par la somme des lignes, on obtient .
Donc .
Donc .
Donc ou .
Donc ou .
Le premier cas: .
Remplaçons dans *, on trouve .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
La première ligne de ce système est une équation du second degré dont le discriminent est positif.
Dans ce cas, on est englué dans un tas de calcul, je renonce: je ne peut pas continuer.
Le second cas: .
De même, je renonce.
J'attends quelqu'un me confirmer la démarche.

nmo a écrit:

P.S: la solution de M.Marjani est pâle-mêle exposé, même son résultat final est faux.

Ah, bon?

Je pense que toi aussi t'as oublie le couple (0,0) [EDIT]
Il faut discuter de ce couple avant, non pas l'inclure directement dans les solutions ^^

(x+y-1)²=xy-1 qui est Delta de 2(x+y)+xy-2=(x+y)² est plus fort. C'est juste une faute d'innatention, puisqu'on est dans ramadan, je n'ai pas discuter du cas d'égalité (x=y). Mais la methode reste toujours juste est courte.

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

P.S: la solution de M.Marjani est pâle-mêle exposé, même son résultat final est faux.

Ah, bon?
Je pense que toi aussi t'as oublie le couple (0,0) [EDIT]
Il faut discuter de ce couple avant, non pas l'inclure directement dans les solutions ^^
(x+y-1)²=xy-1 qui est Delta de 2(x+y)+xy-2=(x+y)² est plus fort. C'est juste une faute d'innatention, puisqu'on est dans ramadan, je n'ai pas discuter du cas d'égalité (x=y). Mais la methode reste toujours juste est courte.

Je n'ai rien oublié.
Et en plus, je n'ai pas inclus le couple (0,0) dans la solution, mais j'ai prouvé qu'il s'agit d'une solution.
Je donne le ballon à un autre membre pour jujer ta solution, M.Marjani.

nmo a écrit:

Je n'ai pas inclus le couple (0,0) dans la solution.
Je donne le ballon à un autre membre pour jujer ta solution, M.Marjani.

C'est clair la soluc...

Pour le deuxiéme exercise, t'as utilisé la méme demarche que j'ai fais dans les deux EX ^_^
Bon t'as compliqué les choses, tu n'as pas pu sortir c'est pourquoi tu as renoncé.

Regarde comment tu peux sortir façilement ^^

Pour le premier cas:

On a façilement:



Tu auras donc un systéme de trois equations:





Alors Delta... Et avoir les deux solutions.

De méme pour le deuxiéme cas:

M.Marjani a écrit:

nmo a écrit:

Je n'ai pas inclus le couple (0,0) dans la solution.
Je donne le ballon à un autre membre pour jujer ta solution, M.Marjani.

C'est clair la soluc...
Pour le deuxiéme exercise, t'as utilisé la méme demarche que j'ai fais dans les deux EX ^_^
Bon t'as compliqué les choses, tu n'as pas pu sortir c'est pourquoi tu as renoncé.
Regarde comment tu peux sortir façilement ^^
Pour le premier cas:
On a façilement:

Tu auras donc un systéme de trois equations:


Alors Delta... Et avoir les deux solutions.
De méme pour le deuxiéme cas:

Sauf quelques fautes de frappe, la methode est bonne.
A priori, j'ai prédit qu'on aurait des solutons.
Mais après ce qu'a fait M.Marjani, et après le calcul des discriminents des deux cas, on trouve qu'ils sont strictement négatifs.
Ainsi, aucune solution n'existe.
Sauf erreur.