Exercice sur les applications

je sollicite votre aide pour cet exercice chers forumeurs:

Soient E et F deux ensembles non vides MQ:

il existe une injection de E sur F <==> il existe une surjection de F sur E

Merci d'avance.

salam

si f est injective de E sur F ====> f bijective de E sur f(E) inclus dans F

soit g : F ----------> E et f' la réciproque de f

g(x) = f'(x) si x appartient à f(E)
g(x) = yo si x appartient à F-f(E) , yo un élément fixé dans E

g est bien surjective de F sur E
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si h est surjective de F sur E

pour tout x dans E , A(x) = les antécedents de x par h

les A(x) forment une partition de F

soit k : E ----------> F

k(x) = y où , y est un élément choisi dans A(x).

k est bien injective de E sur F.

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En ce qui concerne la deuxième partie pouvez vous être un peu plus clair car je n'ai pas bien compris.Merci d'avance

salam

j'explique sur un exemple

F= { 1,2,3,4,5} E = {a,b,c}

h: 1 -----------> a
2 -----------> a
3 -----------> b
4 -----------> b
5 -----------> c

h est bien surjective de F sur E

soit

k : E -----------> F

a ----------> un antécédent de a par h (exp : 1)
b ----------> un antécédent de b par h (exp : 4)
c ----------> un antécédent de c par h (exp : 5)

k est bien injective de E sur F.

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