exercice 69 page 93 les applications

bonjour. voici un exercice très intéressant:
on considère deux applications f et g de N vers N telles que:
f est injective
g est surjective
quel que soit x de N : f(x)inférieur ou égal à g(x)
montrer que f=g

c'est le plus dur que j'ai jamais vu
je parie que personne ne pourra le faire avec les connaissances relatives au niveau première.
bonne chance

wéééé vraiment difficile moi oci je n'ai pas pu trouver la solution

salma1990 a écrit:

wéééé vraiment difficile moi oci je n'ai pas pu trouver la solution

BJR à Toutes et Tous !!!
BJR salma1990 !!
Je comprends bien POURQUOI vous ne trouviez pas parceque :
CET EXO EST FAUX FAUX !!!!
Voilà un contre-exemple :
Considérer la fonction f : n -------> f(n)=n de IN dans IN , elle est INJECTIVE .
On va construire la fonction g maintenant de IN dans IN qui soit SURJECTIVE , vérifie n=f(n)<=g(n)
et qui ne lui EST PAS EGALE !!!!!!!!
On pose :
g(0)=1
g(2p)=2p si p est entier p>=1
g(2p+1)=2p+3 pour tout entier p .
ON VERIFIE que g est surjective ( à Vous !!!! )
que f(n)=n<=g(n) ( à Vous encore !!!)
MAIS que f <> g car par exemple
f(2p+1)=2p+1 < g(2p+1)=2p+3 pour tout p d'ailleurs !!!
A+ BOURBAKI

merci boubaki pour la réponse
mais elle est fausse
l'application g que vous avez construite n'est pas surjective
explication: 0 n'a pas d'antécédant

Attends , je vais la corriger cette fonction g !!
Tu peux aussi mettre la main à la pâte !!
A tut

selon vous
g(0)=1
g(1)=3 car 1 est impair
g(2)=2 car 2 est pair
et ainsi de suite
d'ou 0 n'a pas d'antécédant
le défi reste à relever

mais je suis persuadé que l'exercice est vrai

Mea Culpa !!
Effectivement , mon contre-exemple n'est pas abouti !!!
J'étais persuadé pourtant !!!
A revoir dans le sens : le Pb posé est juste !!
A+ BOURBAKI

mais onpeutquand meme bien poser
f(x)=x et g(x)=x²
ici ona f injective,g surjective et qqsoit x de N f(x)<=g(x) (egalite avec 0 et 1)
however fn'est pas egale a g
c'est un contre exemple ou non?

désolé mon ami
tu t'es trompé
g n'est pas surjective car 2 par exemple n'a pas d'antécédant
racine(2) ne figure pas dans l'ensemble de départ

Sofyanekasunet a écrit:

bonjour. voici un exercice très intéressant:
on considère deux applications f et g de N vers N telles que:
f est injective
g est surjective
quel que soit x de N : f(x)inférieur ou égal à g(x)
montrer que f=g

montrer tt dabord par reccurence sur n que
qq soit n de N il eiste un seul a dans N tq g(a)=f(a)=n , P(n)
$n=0 , g surgective ==> ilexiste a0 dans N tq f(a0)=<g(a0)=0
==>f(a0)=g(a0)=0 et a0 unique (f(b0)=g(b0)=0==>f(b0)f(a0)==>a0=b0 !)
$$ on suppose que P vraie pour un certain rang n et mq P(n+1)vraie.
soit n+1 ,g surgective ==> il existe a(n+1) tq g(a(+1))=n+1
f(a(n+1))=<g(a(n+1))=n+1
==> f(a(n+1))=<n+1
si f(a(n+1))#n+1 alors f(a(n+1))=<n
alors il existe b de N tq f(b)=f(a(n+1))=g(b) (lhypothese de reccurence)
==>b=a(n+1)
alors n>=f(a(n+1))=f(b)=g(b)=g(a(n+1))=n+1 absurde .
donc f(a(n+))=n+1=g(a(n+1)) et ce a(n+1) est bien unique.
on a montré que f et g sont bijectives .
mnt reste l'absurde...

BSR Selfrespect !!
Je n'ai pas très bien saisi ou tu veux en venir avec f, g BIJECTIVES ????
A+ BOURBAKI

Bonsoir,
on a montré que
qq soit n de N il existe un seul a dans N tq g(a)=f(a)=n
ceci dit bien quil sont egaux .
soiot n dans N et c=f(n)
pour c il existe an tq f(an)=g(an)=c=f(n)
f inj ==> an=n
donc f(n)=g(n).
a bientot.

merci selfrespect: belle tentative
j'ai eu moi meme cette idée
mais j'ai encore une question à te poser :
quand tu arrives à f(a_n+1)inférieur ou égal à n
comment tu conclues que f(a_n+1)=g(a_n+1) ?
l'hypothèse de récurrence ne concerne que le rang n
mais il se peut que f(a_n+1)=n-1 ou n-2 ...?
merci pour l'explication

Cet exo est present dans le cours des equations fonctionnelles

merci infiniment